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2024-2025学年湖北省沙市中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，均为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，若，则( )
A. B. C. D.
3.在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是( )
A. B. C. D.
5.已知，是平面外的两条直线，在的前提下，是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设，是两个非零向量，且，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
7.在等边三角形中，、、分别在边、、上，且，，则三角形面积的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，真命题是( )
A. 若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线．
B. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
C. 若直线相交，是平面且，则直线不在平面内
D. 若是平面，直线，直线，则．
10.点在所在平面内，下列说法正确的是( )
A. 若，则为的重心
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则
D. 若为边长为的正三角形，点在线段上运动，则
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 四点共面
B. 几何体的体积为
C. 存在唯一的点，使平面
D. 直线 与所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
13.中若，，则的面积的取值范围为 ．
14.已知函数是定义在上的奇函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到的图象，若方程在时有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为．
求的体积；
求的表面积．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．
求证：平面；
若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
17.本小题分
如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米设筒车上某个盛水桶到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：分钟之间的关系式为
求与时间单位：分钟之间的关系式
某时刻单位：分钟时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
若，求的值
若是锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量；
记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．

，，
，
，
，
所以的体积为；
，，
，
，
．
所以的表面积为．
16.证明：在四棱锥 中，取 中点 ，连 、 ．
．
又 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
解：取 中点 ，连接 ， ．
， 分别为 ， 的中点，
．
平面 ， 平面 ，
平面 ．
又由可得 平面 ， ， 、 平面 ，
平面 平面 ．
是 上的动点， 平面 ，
平面 ，
当 为中点时， 平面 ．
17.解：由题意，得函数的周期为，可得．
由题意半径为米，筒车轴心距水面的高度为米，可得，，
可得．
依题意，可知当时，，即，可得，
由，可得．
；
由题意得，，得，
由题意知，所以
所以
所以再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米
18.解：在中，，由余弦定理可得，
又，故，即，
又，故，得
在中，由余弦定理可得，
又，所以，即，
又，故，
结合正弦定理，可得，
所以，
即，
所以，即，
因为，，，所以，所以或，
即或舍．
所以．
因为是锐角三角形，所以得，
所以，故，，
所以的取值范围是．
19.解：因为，
故函数的伴随向量；
向量的相伴函数为，
由，得，
由于，
所以，
则，
故；
的函数解析式，
所以，
区间的长度为，函数的周期为，
若的对称轴在区间内，
不妨设对称轴在内，最大值为，
当即时，
函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为
其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于
当或时，最大值与最小值之差取得最大值，
若 的对称轴不在区间 内，不妨设 即 ，
则 在区间 内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
，
综上，故函数 在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围为 ．

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