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2024-2025学年广东省佛山市南海区高二下学期素养提升学业水平测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有名同学去听同时进行的个有关人工智能的知识讲座，每名同学可以自由选择其中的个讲座，则不同的选法种数共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列的通项公式为则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是( )
A. 在单调递增 B. 在处取得最大值
C. 在单调递增 D. 在处取得最大值
5.记为等差数列的前项和，若，，则公差( )
A. B. C. D.
6.已知公比不为的等比数列满足，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.某地环保部门召集家企业的负责人座谈，其中甲企业有人到会，其余家企业各有人到会，会上有人发言，则发言的人来自家不同企业的可能情况共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知某物品进价为元，根据以往经验，该商品的市场销量与商品售价元之间的关系为，则此商品的利润最大时，该商品的售价为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为等差数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 当时，取得最小值
C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是
10.已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若互斥，则
D. 若独立，则
11.已知函数，则( )
A. 曲线的图象与轴有交点
B. 当时，在处有极大值
C. 存在，使得是曲线的对称中心
D. 当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 用数字作答
13.设函数是函数的导函数，且满足，则 ．
14.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲、乙两位同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行乙同学第局赢的概率是 甲同学第局赢的概率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
求的单调区间．
16.本小题分
已知是首项为的等比数列，数列满足，．
求的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，长方体中，点在棱上，．
证明：平面
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
甲、乙两个不透明的箱子中各装有个大小和质地完全相同的球，其中甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球．
若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得分，取出一个黑球得分现从甲箱中任取个球，设取出的个球的得分的和为，求随机变量的分布列
现从甲箱中任取个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率．
19.本小题分
已知函数，．
若当时，，求的取值范围
证明：
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.

15.解：当时，，得，
于是曲线在点处的切线斜率为，
而，
故曲线在点处的切线方程为，即．
，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，即，得；
由，即，得；
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
综上得，当时，函数增区间为，无减区间；
当时，函数增区间为，函数减区间为．
16.解：，，，
当时，，即，
数列是首项为的等比数列，
公比，
数列的通项公式为：；
，，即，
，
，
．
17.证明：由已知得，平面，平面，故B．
又，，平面，
所以平面．
解：以为坐标原点，、、分别为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，为中点，
由平面，平面，可得，
为等腰直角三角形，可得，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则即，所以可取．
设平面的法向量为，
则即，所以可取．
于是．
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：的取值为，，，
则；
；
，
所以的分布列为：
设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，
事件为“从甲箱中取出的个球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出个白球个黑球”，
事件为“从甲箱中取出个球都是黑球”，
则，，彼此互斥，且．
，，，
，，．

19.解：构造，
．
当时，有，当时，有，
于是在单调递减，所以，即，
所以在上不恒成立．
当时，有，当，有，于是在单调递增，
所以，即，满足题意．
综上所述，的取值范围是
由可知当时，有．
令，有在上恒成立，
令，
则，
即，
即，
故
故
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