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2024-2025学年四川省成都市第十二中学高二下学期半期考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差等于 ．
A. B. C. D. 或
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若则( )
A. B. C. D.
4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”在该问题中前天共分发多少升大米？( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.设函数的导数为，则数列的前项和是( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是( )
A. B. C. D.
11.已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是( )
A. 满足的最小值为 B.
C. D. 时，取得最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列中，若，则数列的通项公式为 ．
13.若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ．
14.已知函数．为函数的导函数，若对任意恒成立，则整数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求的值；
求函数在区间上的最值
16.本小题分
如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线．

证明：平面平面．
若，，，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足，其中．
设，求证：数列是等差数列；
在的条件下，求数列的前项和；
在的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为．
若点到抛物线准线的距离是它到焦点距离的倍，求抛物线的方程；
点，若线段的中垂线交抛物线于，两点，求三角形面积的最小值．
19.本小题分
已知函数，
讨论的单调性；
当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中求的通项公式．
在的条件下，证明：
参考答案
1.
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4.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】Ⅰ由题意得，定义域为
因为在处有极值，
所以，解得；
Ⅱ由Ⅰ，所以，，
令，在定义域内解得，当时，，所以单调递减；当时，，单调递增，当，
，易得，
所以当时，，．

16.【详解】证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以．
因为为该圆柱的母线，所以平面，平面，
所以，又，平面．
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
设点在圆柱下底面的射影为，连接．
以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．

因为，，所以，
所以，
．
设平面的法向量为，
则，即
取，得．
由，
得与平面所成角的正弦值为．

17.【详解】证明：
，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，，
，
，
得：，其中，是首项，
公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式，
这里的首项，公比，项数为，，
所以，
．
存在，理由如下：
则，
若对任意的，都有，
则等价于恒成立，
即恒成立，，
当为偶数时，，则，
当为奇数时，时，则
综上，存在，使得对任意的，都有．

18.【详解】解：抛物线的准线方程是，焦点坐标为，
，
抛物线的方程为
由题意知线段的中点坐标为，，
直线的方程为
设，
由，得
，
又
令，则，
当时，，递减，当时，，递增，
当即时，取得最小值，最小值为．

19.【详解】
若，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若，则，则在上单调递增，
若，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，则在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，，，切点，切线斜率：，
故切线方程为：，
联立得：，
化简得：，
因式分解得：．
故
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故，
，则是以为首项，以为公比的等比数列，
故，故．
构造，
，故在上单调递减，故
故当时，，
故，
则，，，
将上式累加，得
，
故，
故．

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