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2024-2025学年四川省广安中学高二下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为( )
A. B.
C. D.
3.记等比数列的前项和为，若，则公比( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.图是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为已知成公差为的等差数列，且直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，，，设，则( )
A. B. C. D.
8.如图为我国数学家赵爽约世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在用种颜色给个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10.若函数既有极大值也有极小值，则 ．
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 在上单调递减
B. 恰有一个极大值
C. 当时，有三个零点
D. 当时，有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
13.将个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有 种不同的排法．用数字作答
14.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式若对，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足
求证：数列为等比数列；求数列的通项公式；
记，求数列的前项的和．
16.本小题分
已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；．
求数列的通项公式；
若数列为递增数列，记，求数列的前项的和．
17.本小题分
已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
写出年利润万元关于年产品千件的函数解析式；
年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大最大利润是多少
注：年利润年销售收入年总成本
18.本小题分
已知函数
若，求的极小值；
当时，求的单调递增区间；
当时，设的极大值为，求证：．
19.本小题分
英国数学家泰勒是世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
若，利用泰勒展开式证明：；
当时，证明：；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.解：由得，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列．
由知，，
所以，
所以，
所以
．

16.解：由题意，可得，即
解得或，又，
，所以．
由得，所以，
则，
有，
两式相减得，
，
．

17.解：由题意当时，，
当时，，
综上可得．
当时，，
则，
所以当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以当时，取最大值，且．
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
综上，当年产量为千件时，该企业生产此产品所获年利润最大，最大利润为万元．

18.解：由题意知．
若，则，所以．
令，得．
当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值等于．
因为，所以，
由，即，解得或，
所以在和单调递增，
由，即，解得，
所以在单调递减，
故的单调增区间为和．
当时，由知，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值等于，
令，所以，
在上在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，．

19.解：由，两边求导得：
即．
解法：由知，对于，，
先证时，，
令，则，得，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
则，所以，
则，
解法：设，则，
令，则存在使得，即，
则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以，所以成立．
当时，不等式恒成立，
即，
设，
则，
再令，则，
所以在时单调递增，
又，，所以在存在零点．
又因为，
而且，，可以设使得，
且，
即，使得，
所以时，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
，
所以．

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