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2024-2025学年内蒙古自治区锡林郭勒盟太仆寺旗宝昌第一中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量单位：个，估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是 若随机变量，则，，
A. B. C. D.
8.已知函数在处取得极大值，则实数的取值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若件产品中有件次品和件正品．现从中随机抽取件产品，记取得的次品数为随机变量，则下列结论正确的是( )
A. 若是有放回的抽取，则
B. 若是无放回的抽取，则
C. 若是有放回的抽取，的数学期望
D. 若是无放回的抽取，的数学期望
10.若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A. 在与处的瞬时增长率相同
B. 在上不单调
C. 可能为奇函数
D.
11.围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是( )
A. 且甲获得冠军的概率是
B. 有连续三场比赛都是乙胜的概率是
C.
D. 若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：
第天
最低气温单位
由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为 ．
13.为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ．
14.下列说法中正确的是 ．
设随机变量服从二项分布，则
小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求函数的单调区间．
16.本小题分
盒中有四张卡片，分别标有数字，现从盒中任取两张卡片．
求两张卡片的数字之积为偶数的概率；
取后放回，重复操作次，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为，求证：．
17.本小题分
某人工智能公司从至年的利润情况如下表所示：
年份
年份代码
利润单位：亿元
根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关．计算与之间的相关系数精确到，并推断它们的相关程度；
求出关于的经验回归方程，并预测该人工智能公司年的利润；
参考数据：
参考公式：对于一组数据，相关系数为：
经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，
18.本小题分
在的展开式中，前项的系数成等差数列．
求展开式中的一次项；
证明展开式中没有常数项；
求展开式中所有的有理项．
19.本小题分
设函数．
当时，
讨论函数的单调性；
若存在两个极值点，且，求的取值范围；
当且时，若相异的满足，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为．
．
因为，所以．
由，解得；由，解得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

16.解：记“两张卡片的数字之积为偶数”为事件，则事件的对立事件为两张卡片均是奇数，
所以．
每次操作，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数分别为事件，
所以，，
所以，，，
故，，
所以．

17.解：由题设，易知与线性相关，且，
，
由于，可以推断变量与成正线性相关且相关程度很强．
由题设，，，
所以，因此关于的回归方程为，
当时，，即预测该人工智能公司的利润为亿元．

18.解：设该二项式展开式通项为，则，
由题意可得：或，
显然不符题意，舍去，故．
令，即含的一次项为：；
由展开式通项为，则，
所以不满足，所以展开式中没有常数项；
由知二项式展开式通项，由题意知，
令得为展开式中所有的有理项．

19.解：时
设
，当时，因为当且仅当时取等，所以，
即在上单调递增
，当时，，令解得，
所以
极大值
极小值
此时在和单调递增，
在单调递减；
由得此时且设，由韦达定理得
所以
因为，所以，解得，
因此的取值范围是；
由得，即，
当时，要证，即证，即证，
若，则恒成立，下证时．
当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递增，
不妨设，则有，现要证，即证，
因为，即证，即证，
设，
则
，
所以，即得证，所以得证；
当时，要证，即证，即证，
若，则恒成立，
下证：当时有．
当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递增，
不妨设，则有，现要证，
即证，
因为，即证，即证，
设，
则
，
所以，即得证，所以得证；
综上所述：．

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