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2024-2025学年上海市宝山区世外学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
3.函数是( )
A. 偶函数，且最小值为 B. 偶函数，且最大值为
C. 周期函数，且在上单调递增 D. 非周期函数，且在上单调递减
4.若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是
6.若为正整数，则不等式的解集是
7.函数的最大值为 ．
8.函数在处的切线方程为
9.设为等比数列的前项和，已知，则公比
10.若的二项式展开式中的系数为，则 ．
11.已知向量，向量在上的投影向量为，则
12.若直线上有且仅有一点，使得，则直线被圆截得的弦长为
13.已知随机变量，则实数的值为
14.将一枚质地均匀的硬币抛掷次，设事件为“第次出现正面”，事件为“第次出现反面”，则 ．
15.若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，则的取值范围是
16.若对任意的正整数，函数均存在两个极值点、，且满足，则数列的前项和 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，若，．
求数列的通项公式及前项和；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图设点为的中点．

求证：平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为．
设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，证明：；
用频率估计概率，记这个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列、数学期望和方差．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最小值；
证明方程有且仅有一正一负根：
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为．
以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；
已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；
已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点均不同于，是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.
17.设公差为，则，
，
解得，故；
；
，
故，
则，
式子得
，
所以．

18.，，，
又平面，，平面，
又平面，，
又，，平面，
平面．
如图：

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
在中，因，，则，即，得，，
则在中，，
则，，
，
设平面法向量为，
则，可得：
取，可得，，
，
则，
即点到平面的距离．

19.设事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”，
事件为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”，
事件为“混放在一起的某一个零件为合格品”，
则，
．
即．
得即，
所以
由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为．
表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即．
则，．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以的分布列为：
则，所以期望为，
方差为．

20.，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
；
方程可化简为，
方程的根就是函数的零点，
由解析式易知在，上单调递增，
因为，
所以函数在有唯一零点，且，
因为，，所以函数在有唯一零点，所以有且仅有一正一负根．
设，
则当时恒成立，
由得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
当时，，这与矛盾，
综上，．
所以实数的取值范围．

21.由题意得即，所以离心率．
由题意得椭圆
当时，由对称性得．
当时，，故，设，
由得
两式作差得，
代入椭圆方程，得负舍，故
当时，根据椭圆对称性可知．
由题意得椭圆．
设直线，
由得．
设，则
，
，
由，得．

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