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2024-2025学年上海市南洋模范中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果且，那么直线不通过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若函数在处导数为，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为( )
A. B. C. D.
4.已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”现有如下两个命题：
任意椭圆都是“自稳定曲线”；存在双曲线是“自稳定曲线”．
则( )
A. 是假命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题
C. 都是假命题 D. 都是真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有 种不同的排法．
6.已知直线：，：，若，则实数 ．
7.曲线在处的切线方程为 ．
8.直线被曲线截得的线段的长是 ．
9.已知椭圆与双曲线有公共焦点，，是它们的一个公共点，则 ．
10.中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 ．
11.如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断：
到、、、四点的距离之和为定值；
曲线关于直线、均对称；
曲线所围区域面积必小于；
上述判断中正确命题的为 ．
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
13.已知，，，，使恒成立的有序数对有 对．
14.栱宸桥，如图，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 ．
15.若正方体的棱长为，是正方体表面上一动点设是以为球心，半径为的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为 ．
16.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦不与长轴重合，则三棱锥体积的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在长方体中，，．
设、分别为和中点，求证：平行于平面；
求异面直线与所成角的大小．
18.本小题分
解方程：；
已知，求的值．
19.本小题分
如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地含边界和内部，为坐标原点，长米，在边上距离点米的处放一只电子狗，在距点米的处放一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫“成功点”．
求在这个矩形场地内“成功点”的轨迹方程；
若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，求的取值范围．
20.本小题分
已知椭圆．
若，求椭圆的离心率；
设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点的纵坐标为，且，求的值；
若为椭圆上一点，过点作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求的取值范围．
21.本小题分
定义：若曲线和曲线有公共点，且在处的切线相同，则称与在点处相切．
设若曲线与曲线在点处相切，求的值；
设，若圆：与曲线在点在第一象限处相切，求的最小值；
若函数是定义在上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立是否存在点，使得曲线和曲线在点处相切？证明你的结论．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】取中点，连接、，如图所示：
因为为中点，所以，且．
又是长方体，为中点，
所以，且，即，且，
四边形为平行四边形，所以．
又在平面内，在平面外，因此，平面．
连接，如图所示：
因为平面，平面，
所以，又，
所以是异面直线与所成角或其补角．
，故．
因此，异面直线与所成角的大小为．

18.【详解】因为，所以，
即，因，即，
整理得，解得或舍去，
故原方程的解为．
因为，
令，得．
因为，而展开式的通项为且，
所以，
所以．

19.【详解】分别以，为，轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，设成功点，
依题意，，即，
则，化简得，
所以这个矩形场地内成功点的轨迹方程是．
由知，点的轨迹是以为圆心，为半径的右半圆，
由电子狗在线段上总能逃脱，得直线与点的轨迹在轴右侧且相离，
此时直线的斜率，方程为，即，
由，得，则有，即，
此时，而，
所以的取值范围是．

20.【详解】当时，椭圆，焦点在上，
则，则．
因为为椭圆的左右顶点，所以，
令中，则，
若，，
，
解得：．
若，，
，
解得：．
若为椭圆上一点，过点作一条斜率为的直线，
设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，
直线与双曲线的渐近线平行时，
则双曲线的渐近线为：，所以．
因为为椭圆上一点，所以，所以不满足题意．
直线与双曲线的渐近线不平行时，
，则，
则，解得：，
解得：，因为，所以．
又因为为椭圆上一点，所以，则，
则，解得：，
所以，所以，综上所述：．
则的取值范围为：

21.【详解】设点，由，求导得，
于是，解得，由，得，解得，
所以的值为．
设切点，由求导得，则切线的斜率为，
又圆：的圆心，直线的斜率为，
则由，得，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，
所以当时，．
假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，则有，
从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件．
【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键．

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