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2024-2025学年华东师范大学第三附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.设函数，则“”是“没有极值点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是( )
A. B. C. D.
4.已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线的倾斜角为 ．
6.已知双曲线，则双曲线的焦距为 ．
7.已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ．
8.已知椭圆中心在原点，长轴长为，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 ．
9.函数，则 ．
10.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则 ．
11.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
12.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为 ．
13.不论取何值时，直线恒过第 象限．
14.如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．
15.在平面直角坐标系中，，，若在曲线上存在一点，使得为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为 填序号；；；；．
16.若，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知常数，设直线，直线．
若，求的值；
若与平行，求与的距离．
18.本小题分
已知曲线，
求曲线在点处的切线方程；
求过点且与曲线相切的直线方程．
19.本小题分
已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上
求圆的方程：
已知直线过点且直线截圆所得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知双曲线的离心率为，实轴长为，过点的直线与相交于，两点．
求的方程；
是否存在，使得恰好是线段的中点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由；
与直线交于点，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调区间；
若函数在区间上有个零点，求证：；
若在上恒成立，求正整数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或，答案不唯一
12.
13.四
14.
15.
16.
17.由题意知的法向量为，的法向量为，
若，则；
若与平行，则或，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
当时，则直线，直线，
则与的距离为．

18.解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或．
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或．

19.的中点为
的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为．
圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故．
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为．
故直线的方程为或．

20.因为的实轴长为，所以，解得，又因为的离心率为，所以，所以，所以的方程为．
由题意直线的斜率存在，假设存在直线满足条件，设，，
则，，所以，
即，
因为为线段的中点，所以，，
所以，所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为．
联立，消去并整理得，
，
所以直线与无公共点，这与直线与交于，两点矛盾，
故不存在直线，使得恰好是线段的中点．
由题可知直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，
联立得，
，且，
解得，且，
由韦达定理得，，
设，由在直线上，得，即，
由在直线上，得，
由，得，
即，解得，
同理，由，得，
结合，得
，故为定值．

21.当时，，，则，
令，得，令，得，
所以的单调增区间为，减区间为．
由，
当时，由，得，
所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，所以当时，，
所以函数在区间上没有零点，不合题意．
当时，令，得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
当时，，
又，
所以函数在区间上有个零点，符合题意．
综上所述，．
由在上恒成立，即，
由，则，对上恒成立，
令，则，
设，则，
所以在是单调增函数，
又，，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，即，
所以，
所以，又，，
所以的最大值为．

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