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2024-2025学年上海大学附属嘉定高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分不全相同相比，一定不改变的是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差
2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
3.圆与圆的位置关系不可能为( )
A. 相切 B. 相交 C. 内含 D. 外离
4.若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5. ．
6.直线的倾斜角为 ．
7.准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 ．
8.已知事件与事件独立，且，，则 ．
9.有一组数据如下：，这组数据的第百分位数为 ．
10.已知数列是等比数列，其前项和为，若，则公比 ．
11.若二项式展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为 ．
12.有名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有 种．
13.若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为 ．
14.已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ．
15.如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为 ．
16.正方体的棱长为，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线，．
若，求的值；
若，求与间的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，、分别是、的中点．
求证：平面；
若平面，且，求点到平面的距离．
19.本小题分
已知等差数列满足．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值
20.本小题分
某公司的业务部有人，技术部有人，后勤部有人，采用分层抽样的方式，对这三个部门进行公司福利满意度问卷调查，其中业务部的问卷数据如下：
满分分
请根据上述数据绘制茎叶图并计算其极差、标准差、平均值结果保留两位有效数字
若技术部抽样数据的均值为，方差为，后勤部抽样数据的均值为，方差为，求整体抽样数据的均值和方差结果保留两位有效数字
结合调查情况，分析公司福利情况并提出一些建议．
21.本小题分
已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点是椭圆上不同的三个点．
求椭圆的方程；
设直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点．
若，求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或，
15.
16.
17.【详解】因为，则有，解得，
所以的值为．
当或重合时，，或，
当时，，此时两直线重合，不符合题意，
当时，，，即，此时两直线平行，满足条件，
于是得，
所以与间的距离为．

18.【详解】证明：取线段、的中点分别为、，连接，
则，，
又底面是正方形，即，
则，即四边形为平行四边形，
则，又在平面外，平面，
故平面
设点到平面的距离为，
由得

19.【详解】设等差数列的公差为，
则由题意可得，解得
则，
故数列的通项公式为．
当时，；当时，，
则当时，取最小值，最小值为．

20.【详解】茎叶图如图所示：
极差为，
平均值为
方差为：
故标准差为：
整体抽样数据的均值，
整体抽样数据的方差
公司三个部门对满意度存在较大的差异，技术部门的满意度较低，方差较小，
后勤部门的满意度较高，但方差较大，根据这些情况，公司福利可向技术部门有所倾斜．

21.【详解】设椭圆方程为，
由题可知，，又离心率为，
所以，
所以椭圆方程为．
设，
当直线斜率不存在时，设直线方程为，
由得，，
；
当斜率存在时，设方程为，
由得，，
则，
则
，
所以直线方程为，
所以直线过点，
综上所述，直线过定点．
设，
当直线斜率不存在，此时点关于轴对称，
又点是椭圆上不同的三个点，所以点必在长轴顶点处，
不妨设，且，
由得，，即，
将代入，得，则，
点到的距离为，则；
当直线斜率存在，如图：
由知，，，，
进而，．
由得，，
所以，
因为点在椭圆上，所以，
整理得，
代入韦达定理得，，
线段，
点到直线的距离
，
所以
，
综上所述，的面积为．

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