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2024-2025学年广东省肇庆市封开县南丰中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，公比，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等差数列，是其前项和，，则( )
A. B. C. D.
4.等差数列中，，求( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”“钱”是古代一种重量单位，这个问题中戊所得为( )
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
8.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为( )
A. B. C. D.
10.已知正项等比数列的公比为，若，且，则( )
A. B.
C. 是数列中的项 D. 成等差数列
11.已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是 ．
A.
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有名男生、名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数． ．
13.函数的极小值是 ．
14.设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的通项公式为，求公差和首项；
求等差数列，，的第项及前项和．
16.本小题分
已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值．
求的解析式；
求函数极值．
17.本小题分
在递增的等比数列中，，且是和的等差中项．
求的通项公式；
若求数列的前项和．
18.本小题分
函数．
求函数在处的切线方程
求出方程的解的个数．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若函数恰有两个极值点、求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为为等差数列，由等差数列的概念可知，
，．
解：已知该数列为等差数列，则有
，，
故通项公式为，，
前项和．

16.解：由题意可得，．
由，解之得
经检验得时，有极大值．
所以．
由知，．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数值
由表可知的极大值为，极小值为．

17.解：是和的等差中项，，
，，解得，故．
设等比数列的公比为，则，解得或舍，
，
．
由得，
．

18.解：定义域为：，
切线方程为：．
方程解的个数等价于于的交点个数．
所以在上递减，在上递增，
且时，，
作出与的图象，
由图可知当时，方程的解为个
当或时，方程的解为个
当时，方程的解为个

19.解：由且，求导可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
综上可得，
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由，求导可得，
由函数在定义域上存在两个极值点，则方程存在两个不相等的正根，
令，所以，解得，
即的取值范围为．

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