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2024-2025学年华中师范大学龙岗附属中学高二下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量服从正态分布，记，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则集合的真子集的个数是( )
A. B. C. D.
3.“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.包括甲、乙、丙在内的人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为( )
A. B. C. D.
8.从，，，，中，甲、乙两人各取一数不重复，已知甲取到的数是的倍数，则甲数大于乙数的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为研究光照时长小时和种子发芽数量颗之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数变小
B. 经验回归方程斜率变大
C. 残差平方和变小
D. 决定系数变小
10.若，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.若，则函数的函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则 ．
13.若函数为常数，是自然对数的底恰有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
14.已知数列满足，为其前项和，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一市级重点中学选中了名男教师和名女教师共名教师，其中名主任男和名副主任女，现要组成人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
人支教小组中，有名男教师和名女教师；
人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
人支教小组中，至少有名主任参加；
人支教小组中既有主任，又有女教师．
16.本小题分
某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了份有效问卷，统计数据如下表：
性别 购买意愿 合计
有愿意 无愿意
男性
女性
合计
试依据小概率值的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？
企业随机致电位无愿意购买新能源车的车主其中名男性，名女性，邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为，求的分布列及数学期望．
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
17.本小题分
甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一队比另一队多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
第二局比赛结束时比赛停止的概率；
设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：为等比数列
求数列的通项公式
求数列的前项和
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性：
当时，恒成立，求的取值范围
设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意得从名男教师里选名有种选派方法，
从名女教师里选名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法．
由题意得从名教师里选名有种选派方法，
而只有名女教师，则名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种
由题意得从名教师里选名有种选派方法，
从不是主任的名教师里选名有种选派方法，
则至少有名主任参加有种选派方法．
由已知得从名教师里选名有种选派方法，
从不是主任的名教师里选名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法．

16.【详解】零假设为：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于．
的可能取值为，
所以的分布列为：
所以．
或根据超几何分布的数学期望有．

17.【详解】依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．
依题意知，的所有可能值为，，．
表示当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为，接下来有一队连胜局，，
表示前二局的比分为且前局的比分为，．
所以随机变量的分布列为：
所以

18.【详解】由题意可得，即，
两边同时除以可得，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
由得，
当时，，
化简可得，
当时，代入也成立，
所以．
因为，
则，
，
两式作差可得，
所以．

19.【详解】当时，，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增．
，，
令，
，
当，即时，因为，所以存在，
使得当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，所以在上单调递增，
则与矛盾，故舍去，
当，即时，此时，
下面证明恒成立即可，即证，
令，，
所以在上单调递减，所以，
所以，即
综上可得，的取值范围为．
由知当时，当时，，
即，令，则，
化简可得，，
所以，
即，
所以．

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