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2024-2025学年河南省新乡市长垣市长垣银河学校高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，复数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
5.中，角所对的边分别为，若，则( )
A. B. C. D. 或
6.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
7.若，，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知两个单位向量，满足，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部是 B. 的共轭复数是
C. D.
10.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则有两解
B. 若，则是钝角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则的最小值为
11.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 点在平面内 D. 点在平面内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13.若复数是纯虚数，则 ．
14.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，与的夹角．
求；
若与共线，求的值．
16.本小题分
若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为．
求复数和；
若，，求实数，的值．
17.本小题分
已知的内角的对边分别为，且．
求角的大小；
若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．
证明：；
证明：平面．
19.本小题分
如图所示，在直三棱柱中，，且．
求证：平面平面；
若是的中点，求三棱锥的体积．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】，
与共线，
存在唯一实数，使得
即，
又与不共线，
解得

16.【详解】由，得；．
由知，，则，
由，得，
所以．

17.【详解】由，由正弦定理得，
从而有，，则，
由；
因为，所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以周长为，
设外接圆半径为，由，得，
所以外接圆面积．

18.【详解】连接交于点，由四边形是菱形得，
因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
连接，
因为四边形是菱形，所以点为中点，
又分别是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面，
所以平面．

19.【详解】证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，平面，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
由知，平面，
所以是三棱锥的底面上的高．
因为，
所以．
因为是的中点，
所以．
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积．

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