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2024-2025学年浙江省清华附中嘉兴实验高级中学高一下学期期中
数学试卷（B）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的条件．
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
2.已知复数是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则角的大小为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是( )
A. ； B. ； C. ； D. ．
5.设，，是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.中，，，为的中点，，则( )
A. B. C. D.
7.在半径为的球中挖去一个半径为的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则( )
A. B. C. D. 的大小关系不定
8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且是边上的动点不含端点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则( )
A. B.
C. D. 与向量同向的单位向量是
10.如图，在正方体中，，分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
11.设棱长为的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图面积为 ．
13.已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为 ．
14.为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则塔的高度 米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且与的夹角为，求：
；
与的夹角．
16.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，．
求的度数；
若，求的度数．
17.本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
计算该模型的体积结果精确到
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？结果精确到元
18.本小题分
如图，在三棱柱中，在线段上．
若是中点，求证：平面；
若为的中点，直线平面，求．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中为坐标原点
若，求，之间的余弦距离；
已知，若，求、之间的曼哈顿距离；
若点，求的最大值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：因为，，且与的夹角为，
所以，
所以，
所以．
因为，
，
所以，
所以与的夹角为．

16.解：因为，所以，
由余弦定理得，
又，所以，即；
由知，
因为，所以，
所，
所以，
所以，
即，所以，
，所以，或，
即或，或．

17.解：设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，
则，
；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
，
故总费用为元．

18.解：连接交于点，连接，
三棱柱，四边形为平行四边形，为的中点，
又为的中点，
平面，平面，平面
设交于点，连接，
平面，平面，平面平面
，
又四边形为平行四边形，为的中点
，

19.解：依题意，，则，
因此，
所以，之间的余弦距离．
，
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以、之间的曼哈顿距离
．
设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图，

当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为．

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