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2024-2025学年广东省东莞市济川中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为( )
A. B. C. D.
2.已知曲线在处的切线方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
4.随机变量的分布列如表：则( )
A. B. C. D.
5.函数在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.是定义在上的可导函数，且满足对任意正数，若，则必有( )
A. B. C. D.
7.已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，有个实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.有台车床加工同一型号的零件．第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算法一书中就有出现，比欧洲早年发现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是( )
A. 第行所有数之和为：
B. 第行中从左到右第个数与第个数的比为
C.
D. 由“除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是 ．
13.的正因数有 个．
14.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算；
已知，
求的值．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
17.本小题分
现有大小相同的个球，其中个标号不同的红球，个标号不同的白球，个标号不同的黑球．结果用数字作答
将这个球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排法？
将这个球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排法？
若从个球中任取个球，且各种颜色的球都被取到，有多少种取法？
18.本小题分
化简：．
用二项式定理证明能被整除；
求被除所得的余数．
19.本小题分
已知函数，，．
求函数的单调区间；
若且恒成立，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
中，令得
，故；
中，令得，
故．
16.由得，所以，
又，因此曲线在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即；
令，解得：或．
当或时，，当时，，
所以在，内是减函数，在内是增函数．
因此函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且；
综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，
极小值为，极大值为．
17.把相同颜色的球看成一个整体，故种不同的颜色球有种排法．
个不同标号的红球的位置可以变换，有种排法；同理，个不同标号的白球之间有种排法，个不同标号的黑球之间有种排法．
故不同的排法的种数为．
先把除黑球外的个球全排列，共有种排法，
再把个黑球插入上述个球中间的个空当，有种排法，
故共有种排法．
从个球中任取个球，且各种颜色的球都被取到，则必有一种颜色的球取个球，其余颜色的球各取个，
故不同的取法总数为
18.
．
，
显然能被整除；
，
所以被除所得的余数为．
19.，
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使．
，
由于，，所以恒成立，
当时，，当时，，
所以，解得：，
所以的最小值为．

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