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2024-2025学年江苏省无锡市青山高级中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是( )
A. 相交 B. 或 C. D.
2.若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
3.已知，是平面内两个不共线向量，，，，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，已知，是边上的一点，，，，则( )
A. B. C. D.
6.若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.在锐角中，角所对的边分别为若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是( )
A. 在复平面内对应的点在第一象限
B. 的虚部是
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，，，则符合条件的有两个
11.如图所示的圆台，在轴截面中，，则( )
A. 该圆台的高为
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等边中，，则 ．
13.已知一个正方体的个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为 ．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则 ；若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，复数．
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
若满足，，求的值．
16.本小题分
已知，．
设向量，的夹角为，求的值；
求向量在向量上的投影向量的坐标；
若，求的值．
17.本小题分
已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点是的中点．
求证：平面；
若底面为边长为的正三角形，，求三棱锥体积．
18.本小题分
在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
19.本小题分
如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点．
延长交于点图，求的值；
过点的直线与边，分别交于点，图，设，．
求证为定值；
设的面积为，的面积为，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】复数在复平面内对应的点为，
由在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是．
依题意，，
又，则，解得，
，
所以．

16.【详解】由，，
得，
所以；
向量在向量上的投影向量的坐标为
；
，
因为，
所以，解得．

17.【详解】连接交于点，连接，
四边形是矩形，
为的中点，又是的中点，
，又平面平面，
平面；
是的中点，
，
又平面平面，
平面，
平面，
则是三棱锥的高，
又
．

18.【详解】，
由正弦定理边化角，
即，
，，
又，，，
，，
，
，，
的周长为．

19.【详解】依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
根据题意，
同理可得：，
由可知，，
所以，
因为三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为；
根据题意，，
，
所以，
由可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．

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