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2024-2025学年江苏省常州市田家炳高级中学高一下学期期中联合调研数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.在中，若，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知在中，角所对的边分别为，满足 ，则下列条件能使成为锐角三角形的是( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.
6.计异下列合式的值，结果为的是( )
A. B.
C. D.
7.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，点在线段与线段上运动，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.的内角的对边分别为，若则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的有( )
A.
B. 已知在上的投影向量为且，则
C. 若非零向量，满足则与的夹角是
D. 已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是
10.下列命题中正确的是( )
A. 若复数满足则
B. 若为复数，则必成立
C. 若复数则
D. 若复数满足，则为纯虚数
11.已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，，则( )
A.
B. 的外接圆面积为
C. 若，，则
D. 若，，则
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知，其中，，则的值为 ．
13.设平面向量若则平面向量的坐标是 写出其中一个的坐标
14.已知则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知复数，为虚数单位．
求；
若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.若已知向量，，设函数．
若且，求角的大小；
已知，均为锐角，，，求的值．
17.记的内角，，的对边为，，，已知，
求
设，求边上的高．
18.如图，在中，已知，是的中点，是上的点，且，相交于点设
若，求的面积
若求的值．
19.中国数学家华罗庚倡导的“优选法”在各个领域应用广泛，就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科．
已知，试证明此三倍角公式；
若角满足，求的值；
试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：因为复数，
所以
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以，解得．

16.解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．

17.解：在中，
，，
而为三角形内角，
，
，
整理得，得，
又，且，
由正弦定理得，
得，
由得，，，
，
设边上的高为，则，
边上的高为

18.解：因为，所以．
因为，，
所以，
又因为，
所以，，解得．
所以，，则，
所以．
易知，
则，
，
，
所以．
证明见解析

19.解：由
，得证；
由知，可得，
又
，
故
由，则，
所以，则，
所以，可得负值舍，
所以．

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