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2024-2025学年天津市第二十一中学高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，则( )
A. B. C. D.
4.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的面积是( )
A. B. C. D.
5.已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线，，，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. ，，，，则
D. ，，，则
6.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中错误的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则为等腰三角形
D. 若则是钝角三角形
7.如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是 ．
A. B. C. D.
8.若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
9.在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，则 ．
11.在中，所对的边分别为，若，则 ．
12.已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 ．
13.已知，则向量在向量上的投影向量坐标为 ．
14.如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线与直线所成的角为 ．
15.在中，，，为上一点，且满足，则的值为 ；若，，则的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知复数，，为虚数单位．
求
若，求的共轭复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知向量，满足，．
求；
若与同向，求的坐标；
若，求与的夹角．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，．
求的值；
求的值；
若的面积为，求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，．
求证：平面；
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知，，分别为三边，，所对的角，向量，，且．
求角的大小；
若，且，求边的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：
，，
，
．
在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为．

17.解：由，得．
由与同向，令，则，而，解得，
所以．
由，得，即，解得，
因此，而，则，
所以与的夹角是．

18.解：因为，所以，而，
，，
；
由，，
；
由，则，又，则，
又，则．

19.解：如图：取的中点，连接，
则，且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
由题设易知为直角梯形，且，
则，所以，
因为，，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，平面，所以平面．
如图：取的中点，连接，
则，由知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角．
又平面，所以，
因为，又，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

20.解：由已知得．
因为，所以，
所以．
又，所以，
，则
所以又，
所以；
由已知及正弦定理得．
因为，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，所以，
所以．

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