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2024-2025学年山东省济南第三中学高一下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足为虚数单位，则的模是( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为( )
A. B.
C. D.
4.已知圆台的上，下底面的半径长分别为，，母线长，则其体积为( )
A. B. C. D.
5.在中，为边上一点，满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在棱长为的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 复数的虚部等于 B.
C. D. 若是实数，是纯虚数，则
10.在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若是锐角三角形，则
C. 若，则
D. 若，且，则内切圆半径为
11.如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 直线与平面所成的角为
C. 二面角平面角的正切值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ．
13.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体如图，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是如图，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中．
若，求；
若是关于的方程的一个复数根，求的值及．
16.本小题分
如图，四边形中，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，设，．
当时，用，表示，；
若，求实数的值；
求的取值范围．
18.本小题分
在中，内角所对的边分别为，．
求的大小；
已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求的面积．
19.本小题分
如图，在三棱台中，．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．注：，其中是高，分别是上下底面面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意得，
因为，所以，
则，
所以．
方法一由题设得，
即，则
解得故．
方法二由题设得方程的两根为，，
则，得，故．
方法三由，
得，即，所以，
故．
16.解：上存在一点，使得平面，此时，
理由如下：当时，，
如图，过点作交于点，连接，
则，
，，，又，，，
故四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
综上，存在点，使得平面，．
设，则，
故，
当时，有最大值，且最大值为，
此时，，，，
，，
在中，由余弦定理得，，
，
设到平面的距离为，
，．
综上，三棱锥的最大值为，此时点到平面的距离为．
17.解： ．
若，则，
因为，，，
则，
所以．
由题可得：，
，
，当时，的最大值为，
当时，最小值为，
所以．
18.解：由正弦定理得：，
，
，，，又，．
由余弦定理得：，解得：舍或，
，，；
，
，
，．
19.解：证明：在中，由正定理可得，
由于为锐角，故，故，所以
由所以．
又，所以，
所以，
取中点，连接，则，平面，
故平面平面，
由三棱台的性质可知，所以．
由三棱台的性质可知，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角．
由平面，平面，可知平面平面，且两平面的交线为，
作，连接，则即为直线与平面所成角．
在中，，
余弦定理可得，
故，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为．
取中点，连接，平面，
故平面，平面，所以平面平面，
故平面时，到平面距离最大．
可以算得
，平面，
故平面
故．

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