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2024-2025学年江苏省无锡市第六高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，，且，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.复数，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.若平面向量两两夹角相等，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知是关于的方程的一个根，均为实数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，给出下列命题正确的是( )
A. B.
C. D. ．
10.在下列各组向量中，不可以作为基底的是( )
A. B.
C. D.
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形或直角三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行如图若船的航行速度为，小时后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距 ．
13.定义运算，则符合条件的复数 ．
14.如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在复数范围内解方程：
；
．
16.本小题分
已知复数．
若是实数，求实数的值；
若是虚数，求实数的取值范围；
若是纯虚数，求实数的值．
17.本小题分
已知向量，．
当且时，求；
当，与夹角为钝角，求范围．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
若，求的值；
求的长；
求的取值范围．
19.本小题分
如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设
当时，求的值，并求此时防护网的总长度；
为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由，得，即，解得或，
所以方程的解为或．
由，得，则，解得，
所以方程的解为．

16.【详解】若是实数，则，解得或．
若是虚数，则，解得且．
若是纯虚数，则解得．

17.【详解】，，则，，
由于可得，
由于，故，
此时，，故，则，
，，
由，可得，解得，
由可得，
故当与夹角为钝角时，则且

18.【详解】由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以．
由可知，，
由，则，
，
可得，解得．
由图可得，
，
，
由，则．

19.【详解】，，，，．
在中，由余弦定理得：，，
由正弦定理得：，即，
，又为锐角，，
，是等边三角形，
的周长，即防护网的总长度为．
设，则，，
在中，由正弦定理得，
即，，
在中，由正弦定理得，即，，
，
当，即时，的面积最小，最小面积为．

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