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2024-2025学年安徽省亳州市蒙城县实验永兴中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若方程在区间上恰有个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若向量在向量上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，是的角平分线，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知扇形的半径为，弧长为，若该扇形的周长与其面积的数值相等，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.函数，则( )
A.
B. 函数在区间上为增函数
C. 是函数的图象的一个对称中心
D.
10.已知任意两个不共线向量、，，，，，则( )
A. B. 、、三点共线
C. 若，则点为的中点 D. 若，则
11.质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点，当运动秒后，则以下说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，点与点重合
D. 当点与点重合时，点的坐标可以为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.化成弧度是 ．
13.已知命题：若为第一象限角，且，则，能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， ．
14.已知向量，，满足：，，．，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知角顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上．
若角终边上一点的横坐标为，求和；
求．
16.已知向量，．
当，求；
当，求；
在平面直角坐标系中，，，若三角形的重心在轴上，求的值．
17.如图，在梯形中，．
令，，用，表示，，；
若，且，求，．
18.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
当时，求的单调递减区间；
将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，
当时，求函数的值域；
记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定的值，并求的值．
19.已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数．
对于向量序列、，求、的值；
设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小；
若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量的横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】答案不唯一
答案不唯一
14.【答案】
15.【答案】解：由题意可知：，
所以，．
由题意可知：，
所以．

16.【答案】解：因为，，则，
若，则，解得．
由题意可得：，
若，则，解得，
则，所以．
因为，，即，
可知三角形的重心，
若在轴上，则，所以．

17.【答案】解：因为，
所以，
，
；
因为，，所以，
因为，
且，
所以，
解得，
所以，
因为，，
所以
．

18.【答案】解：因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为．
将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数，
因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有个交点，所以，
且，
可得，
所以．

19.【答案】解：对于向量序列、，由题中定义可得，
．
，
，
当为最小时，，
因为，，所以，
当为最小时，，
因为，，所以，
所以两种情况下均有．
不妨设，
若，
因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可；
若，
因为，，所以一定存在正整数，
使得，
可得，
又因为
．
设，，则
，
当且仅当时取等号，
所以，时，
，；
综上所述，存在两个非空子集、，满足题意．

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