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2024-2025 学年天津市南开区美达菲津英中学高二下学期阶段性质量
检测（5 月期中）数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = ∈ ∣ 2 ≤ ≤ 4 , = 1,0 , = 1,2,3 ，则 ∩ =( )
A. B. 0 C. 1 D. 1,0
2.不等式 ( 2) < 0 成立的一个充分不必要条件是( )
A. 0 < ≤ 2 B. 0 < < 2 C. 0 < < 1 D. < 0
3.命题“ 0 ∈ (0, + ∞)，ln 0 = 0 1”的否定是
A. 0 ∈ (0, + ∞)，ln 0 ≠ 0 1 B. 0 (0, + ∞)，ln 0 = 0 1
C. ∈ (0, + ∞)，ln ≠ 1 D. (0, + ∞)，ln = 1
4.对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是( )
A. B.
C. D.
5.下列说法中正确的有( )
①线性回归方程 = + 至少经过一个样本点；
②可以用相关系数 刻画两个变量的相关程度强弱， 值越大则两个变量的相关程度越强；
③在回归分析中，决定系数 2 = 0.98 的模型比 2 = 0.97 的模型拟合效果要好；
④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问 100 名学生能否做到“光盘”行动，得到如
下列联表：
单位：人
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“光盘”行动
性别
做不到 能做到
女 46 9
男 31 14
经计算： 2 ≈ 3.04．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考附表，得到的正确结论是( )
A.依据 = 0.05 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”
B.依据 = 0.01 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”
C.依据 = 0.1 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”
D.依据 = 0.1 的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”
7.一个盒子中有 2 个黑球和 3 个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中
取一球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. 3 4 2 37 B. 7 C. 5 D. 5
8.若一个四位数的各位数字之和为 4，则称该四位数为“ 数”，这样的“ 数”有( )
A. 20 个 B. 21 个 C. 22 个 D. 23 个
9.已知随机变量 和 ，其中 = 12 + 7，且 = 34，若 的分布列如下表，则 的值为
1 2 34
1 1
4 12
A. 13 B.
1
4 C.
1 1
6 D. 8

10.已知函数 ( ) = e , < 1, 2 + 2 + , ≥ 1,若 5 ( ) + 1 = 0 有 3 个实数解，则实数 的取值范围为( )
A. 1e , + ∞ B.
6
5 , + ∞ C.
1 1
e , e D. e , e 1
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知随机变量 服从正态分布 , 2 ，若 (2 < < 6) = 0.6， ( ≥ 6) = 0.2，则 = ．
12. +
∈ 的展开式中，各二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则展开式中 3的系数
为 ．
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13.已知两个变量 与 对应关系如下表：
1 2 3 4 5
5 8 9 10.5
若 与 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 = 1.25 + 4.25，则 = ．
14 5.随机变量 , 满足： = 3 1, (2, ).若 ( ≥ 1) = 9，则 ( ) = ．
15.某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进
行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选
课的不同方案共有 种；若定义事件 为甲和乙选择的课程不同，事件 为丙和丁恰好有一人选择的是
“九章算术”，则 ( ∣ ) = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
1
已知 3 的展开式中各项系数之和为 32．
(1)求 的值；

(2)求 + 1 3
1
展开式中的常数项．
17.(本小题 15 分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行
睡眠时间的调查．
( )应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
( )若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．
( )用 表示抽取的 3 人中睡眠不．足．的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望；
( )设 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 发生的概率．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln(2 + ) + 2，且 ′(0) = 23．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求曲线 ( )在 = 1 处的切线方程．
19.(本小题 15 分)
甲 乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对
题者得 2 分，答错题者得 0 分；在第二轮比赛中，答对题者得 3 分，答错题者得 0 分.已知甲 乙两人在第
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一轮比赛中答对题的概率都为 ，在第二轮比赛中答对题的概率都为 .且在两轮比赛中答对与否互不影响.
设定甲 乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲 乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在
1 1
一次比赛中甲得 2 分的概率为2，乙得 5 分的概率为6．
(1)求 ， 的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为 5 分的概率．
20.(本小题 15 分)
( ) = 1已知函数 3 + 1 23 2 , ∈ ,其中 > 0．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)若函数 ( )在区间( 2,0)内恰有两个零点，求 的取值范围；
(3)当 = 1 时，设函数 ( )在区间[ , + 3]上的最大值为 ( )，最小值为 ( )，记 ( ) = ( ) ( )，求
函数 ( )在区间[ 3, 1]上的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.4
12.10
13.7.5/152
14.4
15.30
8
15
16.解：(1)由题意，令 = 1 得(3 1) = 2 = 32，
解得 = 5．
5
(2) 1 1因为二项式 3 的通项为 +1 =

5(3 )5
= ( 1) 35 5 5 2 ，
5
所以 + 1 1 3 展开式中的常数项为
3 1 5 ( 1)3 35 3 1 +
2
5 ( 1)2 35 2
= 9 35 + 27 25
= 18 25
= 180．
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17.解：(Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 ∶ 2 ∶ 2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人．
(Ⅱ)( )随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3．
3
( = ) = C4 C33 ( = 0,1,2,3)．C7
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
1 12 18 4
35 35 35 35
1 12 18 4 12
随机变量 的数学期望 ( ) = 0 × 35 + 1 × 35 + 2 × 35 + 3 × 35 = 7．
( )设事件 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；
事件 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，
则 = ∪ ，且 与 互斥，
由( )知， ( ) = ( = 2)， ( ) = ( = 1)，
故 ( ) = ( ∪ ) = ( = 2) + ( = 1) = 67．
6
所以，事件 发生的概率为7．
18.解：(1)由 ( ) = ln(2 + ) + 2 2，得 ′( ) = 2 + + 2 ，
2 2 2
因为 ′(0) = 3，所以 = 3，得 = 3，
所以 ( ) = ln(2 + 3) + 2，
(2)由 ( ) = ln(2 + 3) + 2，得 ′( ) = 22 +3+ 2 ，
则切线的斜率 = ′( 1) = 2 2+3+ 2 × ( 1) = 0，
因为 ( 1) = ln( 2 + 3) + ( 1)2 = 1，
所以切点坐标为( 1,1)，
所以所求和切线方程为 1 = 0
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19.解：(1)设 0, 2, 3, 5分别表示在一次比赛中甲得分的事件， 0, 2, 3, 5分别表示在一次比赛中乙得分
的事件．
1 1
因为在一次比赛中甲得 2 分的概率为2，乙得 5 分的概率为6，
2 = (1 ) =
1 , 1
所以 21 ，即 6 =
1 = 2 , = 1
= = , 2
，解得 3 4．
5 6
(2)由已知得 0 = 0 = 1
2
3 × 1
1 1
4 = 4，
= = 12 2 2，
3 = 3 = 1
2 × 1 13 4 = 12，
15 = 5 = 6，
设 为“6 星队′在一次比赛中的总得分为 5 分 ，
则 = 0 5 ∪ 2 3 ∪ 3 2 ∪ 5 0，
则 ( ) = 0 5 + 2 3 + 3 2 + 5 0
= 0 5 + 2 3 + 3 2 + 5 0
= 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × 1 1 1 14 6 2 12 12 2 + 6 × 4 = 6，
1
所以“星队”在一次比赛中的总得分为 5 分的概率是6．
20.(1)解： ′( ) = 2 + (1 ) = ( + 1)( )
由 ′( ) = 0，得 1 = 1, 2 = > 0
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表：
( ∞, ( ( ,
1) 1 1, ) + ∞)
′( )
+ 0 0 +
( ) ↑ ↓ ↑
极大值 极小值
故函数 ( )的单调递增区间是( ∞, 1)，( , + ∞)；单调递减区间是( 1, )．
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(2)解：由(1)知 ( )在区间( 2, 1)内单调递增，在( 1,0)内单调递减，从而函数 ( )在区间( 2,0)内恰
( 2) < 0
有两个零点当且仅当{ ( 1) > 0 0 < < 1，解得 3．
(0) < 0
1
所以， 的取值范围是(0, 3 )．
(3)解： = 1 时， ( ) = 13
3 1.由(1)知 ( )在区间[ 3, 1]内单调递增，在[ 1,1]内单调递减，在
[1,2]上单调递增．
(1)当 ∈ [ 3, 2]时， + 3 ∈ [0,1]， 1 ∈ [ , + 3]， ( )在[ , 1]上单调递增，在[ 1, + 3]上单调递
减.因此， ( )在[ , + 3]上的最大值 ( ) = ( 1) = 13，而最小值 ( )为 ( )与 ( + 3)中的较小者.由
+ 3 = 3 + 1 + 2 知，当 ∈ [ 3, 2]时， ( ) ≤ ( + 3)，故 ( ) = ( )，所以 ( ) = (
1) ( ).而 ( )在[ 3, 2] 5上单调递增，因此 ( ) ≤ ( 2) = 3 .所以 ( )在[ 3, 2]上的最小值为 (
2) = 1 5 43 ( 3 ) = 3．
(2)当 ∈ [ 2, 1]时， + 3 ∈ [1,2]，且 1,1 ∈ [ , + 3]．
下面比较 ( 1), (1), ( ), ( + 3)的大小由 ( )在[ 2, 1]，[1,2]上单调递增，
有 ( 2) ≤ ( ) ≤ ( 1) (1) ≤ ( + 3) ≤ (2)
(1) = ( 2) = 5又由 3， ( 1) = (2) =
1
3，
从而 ( ) = ( 1) = 13， ( ) = (1) =
5
3
( ) = ( ) ( ) = 4所以 3综上，函数 ( )在区间[ 3, 1]
4
上的最小值为3
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