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2024-2025学年北师大版八年级数学下册期末真题
专项练习 07 解答题
一、解答题
1．（2024八下·宣化期末）如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
2．（2024八下·鸡西期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，且这两条直线交于点．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）这两条直线交点的坐标为______；
（3）求出的面积；
（4）直线写出使函数的值大于的值时自变量的取值范围．
3．（2024八下·古冶期末）如图，在中，．
（1）直接写出的形状是_________；
（2）若点P为线段上一点，连接，且，求的长．
4．（2024八下·邵阳期末）如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．
5．（2024八下·罗定期末）如图， 直线 与直线 相交于点．
（1）求， 的值；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
6．（2024八下·浏阳期末）如图，每个小正方形的边长都为1
（1）求四边形的面积与周长；
（2）是直角吗？
7．（2024八下·峡江期末）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转到的位置，连接，求的长．
8．（2024八下·民勤期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点D、E，且．若，，求的长．
9．（2024八下·宣化期末）如图，一次函数的图象与y轴交于点B，与正比例函数的图象相交于点，且．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）点P在x轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
10．（2024八下·胶州期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为．
（1）当时，求t的值；
（2）连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
（3）当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值．
11．（2024八下·胶州期末）如图，在中，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的周长．
12．（2024八下·阜平期末）如图，小区有一块三角形空地，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，E是的中点．经测量．
（1）求的长；
（2）求小路的长．
13．（2024八下·古冶期末）根据需要，某厂要制作如图所示的A，B两种塑料盒（单位：）共80个，购进某种塑料板材100张，
每张这样的塑料板材有两种裁剪方法：
甲：裁成4块的小正方形板；
乙：裁成8块的小长方形板．
先将x张这种板材都按甲方法裁成小正方形板，用于制作80个A，B两种塑料盒的正方形的面，每个A种塑料盒需要6块正方形的面，每个B种塑料盒需要2块正方形的面和4块长方形的面，设制作A种塑料盒y个，
（1）按甲方法裁成小正块方形板_______块（用含x的式子表示），按甲方法裁成小正方形板（_______）（用含y的式子表示），求y与x的函数关系式；
（2）若把剩下的板材都按乙方法裁成小长方形板，恰好做成了A，B两种塑料盒各40个，已知每张板材的进价是4元，将其按甲方法裁剪还需要1元，按乙方法裁剪还需要3元，其他成本忽略不计．A种塑料盒的销售单价定为m元，B种塑料盒的销售单价定为元，但不低于7元．m定为多少时，这批塑料盒的销售利润最大，并求出最大利润．
14．（2024八下·大安期末）如图，直线与直线交于点M（﹣1，2），与轴分别交于点A，B，与轴分别交于C，D．
（1）根据图像写出方程组的解是__________．
（2）根据函数图象写出不等式的解集_________．
（3）求直线AC，直线BD与轴围成的△ABM的面积．
15．（2024八下·茌平期末）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市节前购进了甲，乙两种畅销口味的粽子．已知购进个甲种粽子和个乙种粽子共需元；个甲种粽子比个乙种粽子费用多元．
（1）求甲，乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种粽子共个，且乙种粽子的个数不多于甲种粽子个数的倍，哪种购买方案可使总费用最低，最低费用是多少
元？
16．（2024八下·扬州期末）如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”；
（2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
17．（2024八下·扬州期末）某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？
18．（2024八下·即墨期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝5，连接BD，∠BAD的平分线分别交BD、BC于点E、F，且AE∥CD
（1）求AD的长；
（2）若∠C＝30°，求CD的长．
19．（2024八下·新邵期末）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F．
（1）求所在直线的解析式；
（2）若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2024八下·长沙期末）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值．
21．（2024八下·玉州期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．
（1）求的长；
（2）求小路的长．
22．（2024八下·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形．
（1）求、两点的坐标；
（2）求直线所对应的函数表达式．
23．（2024八下·盘龙期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成．
生活中的数学：确定模型零件平面图的面积
素材一 素材二
如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，．
问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积．
24．（2024八下·法库期末） 2008年6月1日起，我国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋．为了满足市场需求，某厂家生产A，B两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋个，每天共获利元．
　 成本（元/个） 售价（元/个）
A 2 2.3
B 3 3.5
（1）求出与的函数关系式；
（2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少？
25．（2024八下·西山期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，
（1）求的度数；
（2）求格点四边形的面积．
26．（2024八下·西山期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，求．
27．（2024八下·大连期末）平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
（1）______，______；
（2）直线与直线，分别交于，两点：
①求的长（用含n的代数式表示）；
②当时，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
28．（2024八下·薛城期末）小丽学完分式方程之后解一道分式方程过程如下：
第一步：整理
第二步：去分母……．
（1）请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；
（2）请把以上解分式方程的过程补充完整．
29．（2024八下·民勤期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点的坐标是．等腰的顶点在轴正半轴．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点为线段上一动点，为直线上一点，连接且满足平行于轴，连接，当的面积为时，求出此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在直线上，将沿着直线平移得到，平移过程中是否存在某一时刻，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
30．（2024八下·榕江期末）为落实《健康中国行动（）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
（1）求每个足球和排球的价格；
（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．
31．（2024八下·碑林期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2024八下·朝阳期末）如图，矩形中，，，点P、点Q分别在边上，且．连结相交于点M，连结相交于点M．
（1）当时，大小为 度．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当时，求证：四边形是矩形
（4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写由该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
33．（2024八下·宣化期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q．
（1）当时，点的坐标为______；
（2）如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______；
（3）如图3，当矩形的顶点落在l上时，
①求的长度；
②求．
34．（2024八下·平山期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形．
（1）求点的坐标；
（2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，．
①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．120°
2．（1），
（2）
（3）
（4）
3．（1）直角三角形
（2）
4．
5．（1）解：∵直线过点，∴，
∴点，
∵直线过点，
∴，解得：，
∴，的值分别为，；
（2）．
解：（2）根据图象可知的解集为．
（）把点坐标代入可得的值，继而代入可求的值；
（）根据两函数图象可得在交点的左边，利用横坐标即可得答案；
6．（1），
（2）是，理由如下
7．
8．
9．（1）正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）10
（3）或或
10．（1）
（2）
（3）2或6
11．（1）的度数为
（2）的周长为18
12．（1）
（2）
13．（1），，
（2）当时，w的值最大，最大值为元
14．（1）；（2）；（3）5
15．（1）甲种粽子的单价为元，乙种粽子的单价为元；
（2）当购买甲种粽子个，乙种粽子个时总费用最低，最低为元．
16．（1）与互为“和整分式”，“和整值”为
（2）；或或
17．先遣队的速度是6km/h，大队的速度是5km/h
18．(1) 2；(2)
19．（1）
（2），；
（3），或，或，．
20．（1）
（2）购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元
21．（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
∴小路的长为米．
（1）先利用勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）先利用三角形的面积公式可得，再将数据代入求出DE的长即可.
（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
故小路的长为米．
22．（1）解：直线，
当时，，，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
．
设直线所对应的函数表达式为．
将，代入上式，
得
．
（1）根据坐标轴上点的坐标特征分别令x=0，y=0，解方程即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，则，设直线所对应的函数表达式为，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（1）解：直线，
当时，，，
点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
（2）四边形是平行四边形，
，，
．
设直线所对应的函数表达式为．
将，代入上式，
得
．
23．解：连接．
，
∵，，，
∴在中，，
∵，，
∴在中，，，
∴满足，
∴是直角三角形且．
∴零件的面积
．
连接，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形且，则零件的面积，结合三角形面积即可求出答案.
24．（1）y＝﹣0.2x+2250；（2）该厂每天至多获利1550元
25．（1）解：如图：连接，根据勾股定理，，，
∴，，
∴，
是直角三角形，
．
（2）解：．
（1）连接，根据勾股定理，，，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2根据，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图：连接，根据勾股定理，，，
∴，，
∴，
是直角三角形，
．
（2）解：．
26．解：设和分别为，，
，
，
∴，
，
，
，E是的中点，
，
，
．
设和分别为，，根据角之间的关系可得建立方程，解方程可得，则，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
27．（1），
（2）①；②点的坐标为或或．
28．（1）分式的基本性质，等式的性质
（2）无解
29．（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或或
30．（1）每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元
（2）本次购买最少花费4500元钱
（3）学校再次购买足球和排球的方案有3个：①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球
31．（1）
（2）存在，或或
32．（1）90
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，则
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时，如图1所示，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
∴四边形是矩形；
（4）当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为
（1）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
∵
∴．
∴
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
故答案为：90
（4）解：图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当，四边形是菱形，其边长为，
理由如下：
∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
②当，四边形是菱形，其边长为，如图3所示，
理由如下：∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
③当，四边形是菱形，其边长为，如图4，
理由如下：
连接，
在中，由勾股定理得到，
∵，，
∴点P、Q分别是、的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，边长为，
综上可知，当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为
（1）根据矩形性质可得，，，再根据边之间的关系可得，DQ=8，再根据勾股定理及勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，，，则，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，则，根据边之间的关系可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）由（2）可知，四边形是平行四边形，根据矩形性质可得，，，根据边之间的关系可得，DQ=2，再根据勾股定理及勾股定理逆定理可得是直角三角形，是斜边，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当，四边形是菱形，其边长为，②当，四边形是菱形，其边长为，③当，四边形是菱形，其边长为，根据边之间的关系可得Q，再根据勾股定理即可求出答案；
（1）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
∵
∴．
∴
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
故答案为：90
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，则
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时，如图1所示，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
∴四边形是矩形；
（4）解：图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当，四边形是菱形，其边长为，
理由如下：
∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
②当，四边形是菱形，其边长为，如图3所示，
理由如下：∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
③当，四边形是菱形，其边长为，如图4，
理由如下：
连接，
在中，由勾股定理得到，
∵，，
∴点P、Q分别是、的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，边长为，
综上可知，当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为
33．（1）
（2）
（3）①；②
34．（1）
（2）①是，；②或

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