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2024-2025学年北师大版八年级数学下册期末真题
专项练习 08 解答题
一、解答题
1．（2024八下·伊金霍洛旗期末）某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，该公司销售2台A型车和7台B型车，可获利4.1万元，销售1台A型车和3台B型车，可获利1.8万元．
（1）求销售一台A型，一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备采购A，B两种新能源汽车共30台，利润不低于13.1万元，则至少需要采购B型新能源汽车______台．
2．（2024八下·成都期末）解方程：
3．（2024八下·梁园期末）某水果生产基地，某天安排30名工人采摘枇杷或草莓（每名工人只能做其中一项工作），并且每人每天摘0.4吨枇杷或0.3吨草莓，当天的枇杷售价每吨2000元，草莓售价每吨3000元，设安排其中x名工人采摘枇杷，两种水果当天全部售出，销售总额达y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，求销售总额的最大值．
4．（2024八下·开封期末）如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒．
（1）线段的长为____________（用含的代数式表示）．
（2）当平分时，求的值．
（3）如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
5．（2024八下·永寿期末）分解因式：．
6．（2024八下·永寿期末）解方程：．
7．（2024八下·驿城期末）已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）求，两点的坐标；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
8．（2024八下·遂川期末）（1）分解因式：；
（2）如图，在中，，是的角平分线，，，求点到的距离．
9．（2024八下·平谷期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点．
（1）求该函数解析式；
（2）求的面积；
（3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
10．（2024八下·项城期末）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数（单位：吨）与运输时间（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．
11．（2024八下·永寿期末）如图，在中，，以为边向右侧作等边，把绕D点按顺时针方向旋转后得到，若．
（1）求的度数；
（2）求的长．
12．（2024八下·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）若是直角三角形，求点的坐标；
（3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围．
13．（2024八下·岳阳期末）如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为．
（1）求点的坐标；
（2）确定直线对应的函数表达式；
（3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．
14．（2024八下·夏邑期末）如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的表达式．
（3）若直线与直线相交于点，求点的坐标；并根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
15．（2024八下·埇桥期末）某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．
16．（2024八下·永寿期末）问题情境：我们知道形如的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如（1）分解因式．
原式；
例如（2）求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
解决问题：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为_____________；
（2）分解因式：；
（3）求代数式的最大或最小值．
17．（2024八下·吴江期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向右运动，移动到点时立即沿原路按原速返回，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动．两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为（秒）．
（1）当______秒时，四边形为矩形；
（2）在整个运动过程中，为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？
18．（2024八下·黄石港期末）红星美凯龙某商店销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元．
（1）求每台型空调和型空调的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中型空调的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型空调台，这100台空调的销售总利润为元．求该商店购进型、型空调各多少台，销售总利润最大，为多少元？
（3）实际进货时，广家对型空调出厂价下调元，且限定商店最多购进型空调70台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案．
19．（2024八下·驿城期末）已知在中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
（1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，连结，若，求的面积．
（3）如图3，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动(同时点也停止)，若，设运动时间为t秒，求当运动时间t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
20．（2024八下·驿城期末）某药店销售A，B两种口罩，每个A种口罩比B种进价多0.5元，用240元购进A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同．
（1）求A，B两种口罩每个的进价；
（2）药店计划购进A，B两种口罩共10000个，其中A种口罩的进货量不多于3000个，且B种口罩进货量不超过A种口罩进货量的3倍．设购进A种口罩m个．
①求m的取值范围；
②若A种口罩每个售价3元，B种口罩每个售价2元，药店决定从销售A种口罩的利润中按每个捐款a（0.4＜a＜0.6）元给红十字会，作为慈善基金．设药店售完10000个口罩并捐款后获得的利润为W元，求药店获得利润W最大时的进货方案．
21．（2024八下·荷塘期末）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求，的解析式；
（2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标；
（3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024八下·广东期末）如图，在中，，点D、E分别是的中点，点F在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
23．（2024八下·房山期末）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点．
（1）求k和m的值；
（2）已知点，过点A作x轴的垂线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C．
①当时，求n的值；
②当时，直接写出n的取值范围．
24．（2024八下·芙蓉期末）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售
　 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 16 16.8
B型 28 29.4
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
25．（2024八下·商水期末）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的九折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
26．（2024八下·开封期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为，在点， ，中，为点A的“等距点”的是____________；
（2）若，两点为“等距点”，求k的值．
27．（2024八下·西安期末）（1）如图1，点C是线段上的点， 在上方作等边三角形，连接．若，，则的长是 ．
（2） 如图2，在正方形中，，点E是边上一点，连接，将边绕点C顺时针旋转，点B的对应点F落在上，若，则的长为多少
（3）如图3，在矩形中，，点E为上一点，，将 绕着点A逆时针旋转， 得到，点E的对应点为G，连接，取的中点M，连接．若在旋转过程中，点M恰好落在边上，求此时的面积．
28．（2024八下·老城期末）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．
（1）填空：______；
（2）求点A的坐标；
（3）若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
29．（2024八下·裕华期末）武汉某文化公司向市场投放A型和B型商品共200件进行试销．A型商品成本价140元/件，B型商品成本价120元/件，要求两种商品的总成本价不超过26400元，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为170元/件，全部售出且获得的利润不低于10800元．设该公司投放A型商品x件，销售这批商品的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式．并求出x的取值范围；
（2）要使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？
（3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐慈善资金元，当该公司售完这200件商品并捐献资金后获得的最大收益为10960元时．求a的值．
30．（2024八下·罗湖期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且面积为40．
（1）求点C的坐标及直线的解析式；
（2）如图2，已知点，连接并延长与交于点F，求线段的长度．
（3）如图3，将直线向右平移个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线或上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024八下·崇明期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标；
（3）当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示）
32．（2024八下·长沙期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2024八下·新乡期末）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）点是线段上一点，过原点的直线将四边形的面积分为的两部分，请求出点的坐标；
（3）点在直线上第二象限内一点，在中有一个内角是，请直接写出点的坐标．
34．（2024八下·江汉期末）如图，已知直线交轴于，交轴于，过点的直线交x轴负半轴于．
（1）直接写出，的坐标；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，，另有直线交轴于，交轴于，交于，交于．
①当时，求的值；
②直接写出当时，的范围．
35．（2024八下·武侯期末）如图，已知的周长为．
（1）求线段的长；
（2）若，连接，在线段上取一点，连接．
i）当是以为斜边的直角三角形时，求的长；
ii）作，连接，试问：是否存在点，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
36．（2024八下·洪山期末）在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得，
（1）如图（1），若，点F在边上，求长度；
（2）如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度；
（3）如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度．
答案解析部分
1．（1）销售一台A型车的利润是0.3万元，销售一台B型车的利润是0.5万元
（2）21
2．无解
3．（1）y=﹣100x+27000；（2）要求当天采摘枇杷的数量不少于草莓的数量，销售总额的最大值为25700元．
4．（1）
（2）
（3）t的值为 或8或
5．
6．
7．（1），
（2）
（3）
8．（1）；（2）点D到的距离为．
9．（1）
（2）1
（3）
10．（1）；（2）原计划4天完成．
11．（1）
（2）
12．（1）
（2）或
（3）
13．（1）解：令y=0
∴
∴
（2）解：设直线的函数表达式为
把A'(2，0)，B(0，2)代入得：
解得：
直线对应的函数表达式为
（3）
（3）解：令，解得，
关于的不等式的解集为：．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式等知识点，能求得两直线交点的横坐标是解此题的关键．
（1）令y=0，求出直线与x轴的交点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标的特征求出点A'的坐标；
（2）设直线的函数表达式为，利用待定系数法把A'(2，0)，B(0，2)代入解答即可；
（3）令，求得两直线交点的横坐标，结合函数的图象求出不等式的解集即可．
14．（1）
（2）
（3），
15．甲盒用0.6m材料；制作每个乙盒用0.5m材料；l=0.1n+1500，1700．
16．（1）25
（2）
（3）最大值45
17．（1）
（2）或
18．（1）每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元；
（2）该商店购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大，为元；
（3）购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大．
19．（1）60°；（2）；（3）当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以四点组成的四边形是平行四边形．
20．（1）A口罩每个的进价2元，则B口罩每个的进价1.5元；（2）①m的取值范围为2500≤m≤3000；②当0.4＜a＜0.5时，药店购A种口罩3000个，B种口罩7000个；当a＝0.5时，药店进A种口罩和B种口罩在符合题意的购买范围内的整数均可；当0.5＜a＜0.6时，药店购A种口罩2500个，B种口罩7500个
21．（1）解：将代入，得，
解得：．
将代入，得，
解得：．
∴解析式分别为，；
（2）解：，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，
当时，；当时，．
点的坐标为，点的坐标为．
，．
．
设点的坐标为．
则．
，
，
解得或
符合条件的点的坐标为或；
（3）解：存在，点的坐标为或或．
如解图，由（1）（2）可知，，，
设点的坐标为．
①当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为；
②当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为；
③当为对角线时，
由中点坐标公式可得，，
解得，．
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（1）把点 分别代入、中求出b、m的值即可求出，的解析式 ；
（2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）由（1）（2）知，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质及中点坐标公式分别求解即可．
22．（1）证明：如图，
在和中，
∵，点D、E是分别是的中点．
∴，
∴，
又∵．
∴，
又∵
∴，
∴
（2）解：在中，∵∴，
∵点D、E分别是的中点，
，又，
四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）证明四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．
23．（1），
（2）①n的值为或1；②或
24．（1）购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆
（2）购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元
25．（1）80元，120元
（2）23个
26．（1）E、F；
（2）1或2
27．（1）4；（2）①；②或
28．（1）9
（2）点A的坐标是
（3）D点坐标为或或或
29．（1），，且x为整数
（2）该公司向市场投放120件A型商品时，可使这批商品的利润最大为11200元
（3）
30．（1）
（2）6
（3）或
31．（1）
（2）点或
（3）或或
32．（1）解：设抛物线为
把代入得：得：
抛物线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为
把、代入得：
解得：
直线的解析式为
设，则，
，
解得（舍去），
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
设，，，，
当为对角线时，
PQ的中点坐标为：
BC的中点坐标为：
∴
，
同理：
当为对角线时
则
，
当为对角线时
则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
（1）根据题意设两根式：，再代，即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设出点D的坐标，因为，得出点E，F的坐标，再根据，得出：所以，解得，得，即可；
（3）结合平行四边形的性质，根据中点坐标公式：已知：则AB的中点坐标为：进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
33．（1）直线的表达式为；
（2）点坐标为；
（3）点的坐标为或．
34．（1），
（2）
（3）①或；②或
35．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，即，
∴；
（2）解：i）如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∵，
∵，
∴即，
解得；
ii）过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接，，则，，
∴，
由）得，，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
根据图形，由两点之间线段最短可得，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
∴时，、、三点共线，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴由i）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
（1）由平行四边形的对边相等，得AB=CD，AD=BC，然后根据平行四边形的周长公式建立等式，进而将代入求解即可；
（2）i）过点D作DM⊥BC于点M，由平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行同位角相等可得∠DCM=∠ABC=45°，由等腰直角三角形的性质得DM=CM，在Rt△DCM中，利用那个勾股定理得出DM=CM=2，在Rt△BDM中，利用勾股定理算出BD，利用面积法构造方程求解即可；
ii）过点D作DM⊥BC于点M，以AF为腰作等腰直角△AFH，连接AH，HF，则∠HAF=90°，∠AHF=45°，由勾股定理先表示出HF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、有一个内角为直角的平行四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形”可得四边形ACMD是正方形，由正方形性质得∠CAD=∠HAF=90°，AD=AC，由同角的余角相等得∠HAC=∠FAD，进而用SAS判断出△AHC≌△AFD，由全等三角形的对应边相等得CH=DF，从而将转化为CF+DF≥HF，根据两点之间相等最短得C、H、F三点共线等号成立，最后结合平行四边形的性质及勾股定理求解即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵的周长为，
∴，即，
∴；
（2）解：i）如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∵，
∵，
∴即，
解得；
ii）过点作于点，以为腰作等腰直角，，连接，，则，，
∴，
由）得，，，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
根据图形，由两点之间线段最短可得，当且仅当、、三点共线时，等号成立，
∴时，、、三点共线，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴由i）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
36．（1）4
（2）3
（3）

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