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2024-2025学年天津外国语大学附属滨海外国语学校高二下学期 5月期
中考试数学试卷
一、选择题：本大题共 14 小题，共 70 分。
1.设 ( ) = ln ，若 ′ 0 = 2，则 0 =( )
A. e2 B. e C. ln22 D. ln2
2.某公司现准备针对某区域市场开发一款手机软件，而软件的运行需要有相应的手机系统，目前主要的手
机系统有 6 种，在该区域使用的主要有 3 种，如果公司要选 2 种系统，那么合适的选择方法种数为( )
A. 3 B. 6 C. 15 D. 30
3.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色
的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( )
A. 2563 B. 27 C. 2553 D. 6
4.已知函数 = ( )，其导函数 = ′( )的图象如图所示，则对于函数 = ( )的描述正确的是( )
A.在( ∞,0)上单调递减 B.在 = 0 处取得极大值
C.在(4, + ∞)上单调递减 D.在 = 2 处取得最小值
5 .函数 ( ) = e , < < 1，则( )
A. ( ) = ( ) B. ( ) < ( ) C. ( ) > ( ) D.关系不确定
6.学校要求学生从物理 历史 化学 生物 政治 地理这 6 科中选 3 科参加考试，规定先从物理和历史中任选
1 科，然后从其他 4 科中任选 2 科，不同的选法种数为( )
A. 5 B. 12 C. 20 D. 120
7.由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有( )
A. 120 个 B. 480 个 C. 288 个 D. 240 个
8.从标有 1，2，3，4，5，6 的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取 1 张，则在第一次抽到的卡片所
标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为( )
A. 12 B.
5 2 3
6 C. 5 D. 4
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9.已知函数 ( ) = 2 + ，若 ( )在(2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,16] B. ( ∞,8)
C. ( ∞, 8) ∪ (8, + ∞) D. ∞, 16 ∪ 16, + ∞
10.五种不同商品在货架上排成一排，其中 , 两种必须连排，而 , 两种不能连排，则不同的排法共有( )种．
A. 24 种 B. 36 种 C. 72 种 D. 120 种
11 2.甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响、已知甲能正确解答的概率为3，乙能正
1
确解答的概率为2，则此题被正确解答的概率为( )
A. 23 B.
3
4 C.
4
5 D.
5
6
12.现要从 6 名学生中选 4 名代表班级参加学校 4 × 100 接力赛，其中已确定甲跑第 1 棒或第 4 棒，乙和
丙 2 人只能跑第 2、3 棒，丁不能跑第 1 棒，那么合适的选择方法种数为( )
A. 56 B. 60 C. 84 D. 120
13.若 ( ) = C × 0.8 20 ( ∈ )，则 ( )取最大值时 的值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
14 1.已知函数 ( ) = e 22 ( ∈ )，有如下 3 个结论：
①当 ≤ 0 时， ( )在区间(0, + ∞)上单调递减；
②当 0 < < 1e时， ( )有两个极值点；
③当 ≥ 1e时， ( )有最大值．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本大题共 8 小题，共 40 分。
15.A1010 89A88 8A77 = ．
16.曲线 ( ) = 3 + ln 在点(1,1)处的切线方程为 ．
17.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣
赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产 400
件、400 0 0 0件、200 件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为 5 0 , 4 0 , 4 0 .现从这批瓷器中任取一件，取到
次品的概率是 ，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．
18. 1 + 1 7 3 3 (1 + ) 展开式中 的系数为 ．
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19.已知在一次降雨过程中，某地降雨量 (单位： )与时间(单位： )的函数关系可近似表示为 = 10 ，
则在 = 40min 时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 / ．
20.设函数 ( ) = 2 + ln(1 + )有两个极值点，则实数 的取值范围是 ．
21.现安排甲 乙 丙 丁 戊这 5 名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，
且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是 ．
①不同安排方案的种数为54
②若每项工作至少有 1 人参加，则不同安排方案的种数为C2A45 4
③若司机工作不安排，其余三项工作至少有 1 人参加，则不同安排方案的种数为 C3C1 2 2 35 2 + C5C3 A3
④若每项工作至少有 1 人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为C1C2A3 + C24 4 3 4A33
22.定义在区间 上的函数 = ( )，若存在正数 ，使得不等式 1 2 ≤ 1 2 对任意 1, 2 ∈
成立，则称函数 = ( )在区间 满足 条件；已知 ( ) = ln ，若函数 = ( )在区间 1, e 上满足
条件，则 的最小值是 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

23 2.二项式 2 + 展开式前三项的二项式系数和为 22．
(1)求 的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和；
(3)求展开式中的常数项．
24.设 ( ) = ( 5)2 + 6ln ∈ R ，曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线与 轴相交于点(0,6)，求函数 ( )
的极值．
25.已知函数 ( ) = 2 3 + 3 2 + 1， ∈ ．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)求 ( )在区间[0,2]上的最小值．
26.已知函数 = ( )，若其定义域为(0, + ∞)，且满足 ′( ) ( ) > 1 对一切 ∈ (0, + ∞)恒成立，
则称 ( )为一个“逆构造函数”．
(1)设 ( ) = 5 + 1( > 0)，判断 = ( )是否为“逆构造函数”，并说明理由；
(2) ( ) = 4 ln 1 若函数 是“逆构造函数”，求实数 的取值范围；
(3)已知“逆构造函数” = ( )满足对任意的 1, 2 > 0，都有 1 + 2 ≤ 1 2 ，且 (1) = 2．
求证：对任意实数 ≤ 1，关于 的方程 ( ) = 无解．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.0
16.4 3 = 0
17. 11250
5
； 11
18.42
19.14/0.25
20. 0, 12
21.②④
22.2
23.【详解】(1) ∵展开式前三项的二项式系数和为 22，
∴ C0 + C1 + C2 = 22，
∴ 2 + 42 = 0
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∴ = 6 或 = 7(舍)，
故 的值为 6．
(2)展开式中各项的二项式系数和为26 = 64．
令 = 1，则展开式各项系数和为46 = 4096．
3
(3)由题意得，展开式通项 = C (2 )6 2 = C 26 6 +1 6 6 2 , 0 ≤ ≤ 6, ∈ N，
3
令 6 2 = 0，得 = 4,，
∴ 4+1 = 26C46 = 960
所以常数项为 960．
24.【详解】因为 ( ) = ( 5)2 + 6ln ，
所以 ′( ) = 2 ( 5) + 6 ，则
′(1) = 8 + 6，
又 (1) = 16 ，
所以 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 16 = (6 8 )( 1)，
1
由点(0,6)在切线上，可得 6 16 = 8 6，解得 = 2．
所以 ( ) = 12 ( 5)
2 + 6ln ，则定义域为(0, + ∞)，
所以 ′( ) = 5 + 6 ( 2)( 3) = ，
令 ′( ) = 0，解得 = 2 或 = 3，
所以 、 ′( )、 ( )的关系如下表所示：
(0,2) 2 (2,3) 3 (3, + ∞)
′( )+ 0 0 +
( )
单调递增极大值单调递减极小值单调递增
由表可知， ( )的单调递增区间为(0,2)和(3, + ∞)， ( )的单调递减区间为(2,3)，
( ) = (2) = 1 (2 5)2 + 6ln2 = 9所以 极大值 2 2 + 6ln2，
( )极小值 = (3) =
1
2 (3 5)
2 + 6ln3 = 2 + 6ln3．
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25.【详解】(1)根据题意，函数 ( ) = 2 3 + 3 2 + 1，其导数 ′( ) = 6 ( + )．
①当 = 0 时， ′( ) = 6 2 ≥ 0，则 ( )在( ∞, + ∞)上为增函数；
②当 > 0 时，令 ′( ) = 6 ( + ) > 0，解得 < 或 > 0，则 ( )的单调递增区间为( ∞, )和(0, +
∞)，单调递减区间为( , 0)；
③当 < 0 时，令 ′( ) = 6 ( + ) > 0，解得 < 0 或 > ，则 ( )的单调递增区间为( ∞,0)和(
, + ∞)，单调递减区间为(0, )．
(2)由(1)可得，当 = 0 或 = ， ′( ) = 0．
①当 ≤ 0，即 ≥ 0 时， ( )在[0,2]上单调递增，此时 ( )在区间[0,2]上的最小值为 (0) = 1；
②当 0 < < 2，即 2 < < 0 时， ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 2]内单调递增，此时 ( )在区间
[0,2]上的最小值为 ( ) = 3 + 1；
③当 ≥ 2，即 ≤ 2 时， ( )在[0,2]上单调递减，此时 ( )在区间[0,2]上的最小值为 (2) = 17 + 12 ．
综上可得：当 ≥ 0 时， ( )的最小值为 (0) = 1；当 2 < < 0 时， ( )的最小值头 ( ) = 3 + 1；当
≤ 2 时， ( )的最小值为 (2) = 17 + 12 ．
26.【详解】(1)由于 ′( ) = 5 4，
故对 ∈ (0, + ∞)有 ′( ) ( ) = 5 5 5 1 = 4 5 1 > 1.
所以 = ( )是“逆构造函数”．
(2)由于 ′( ) = 1 1 + 2 ，
故 ′( ) ( ) = 1 + 1 ( 4 ln
1
) = 3 + ln +
2(1 )
.
因为函数 ( ) = 4 ln 1 是“逆构造函数”，
2(1 )
所以 3 + ln + > 1 对任意 ∈ (0, + ∞)成立，
4 + ln + 2(1 ) > 0 对任意 ∈ (0, + ∞)成立，
也即 < 1 + 12 (4 + ln )对任意 ∈ (0, + ∞)成立．
令 ( ) = 4 + ln ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = 4 + ln + 1 = 5 + ln ，
令 ′( ) = 0 1，可得 = e 5 = e5，
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当 0 < < 1 ′ 1e5时， ( ) < 0，则 ( )在 0, e5 单调递减；
1 1
当 > e5时，
′( ) > 0，则 ( )在 e5 , + ∞ 上单调递增．
故 ( ) ≥ 1 = 1e5 e5，
1 1
所以 1 + 2 (4 + ln ) ≥ 1 + 2 ×
1 = 1 1 < 1 1e5 2e5，则 2e5
1
综上， 的取值范围是 ∞,1 2e5 ．
(3)设 ( ) = ( ) 1 ，
′ ′
′( ) = ( ) ( ) 1 = ( ) ( )+1 > 1+1则 2 2 2 = 0，
故 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
( ) 1 (1) 1 2 1
一方面，对 ≥ 1，有 = ( ) ≥ (1) = 1 = 1 = 1 > 0．
所以对任意 ≥ 1，有 ( ) > 1；
另一方面，对 0 < < 1，
假设 ( ) ≤ 0，则根据 (1) = 2 > 0 及零点存在定理，存在 ∈ [ , 1)使得 ( ) = 0．
再由条件 1 + 2 ≤ 1 2 ，
知 2 = (1) = + (1 ) ≤ ( ) (1 ) = 0 (1 ) = 0，矛盾．
所以对任意 0 < < 1，有 ( ) > 0．
假设存在 0 < 0 < 1 使得 0 ≤ 1，则根据 (1) = 2 > 1 及零点存在定理，存在 ∈ 0, 1 使得 ( ) = 1．
从而对任意 > 0，有 ( + ) ≤ ( ) ( ) = ( )．
(1+ ) 1 (1) 1 (1) 1
但由 > 0，知 1+ = (1 + ) > (1) = 1 ≥ 1+ ≥
(1+ ) 1
1+ ，矛盾．
所以对任意 0 < < 1，都有 ( ) > 1.
综合两方面可知，对任意的 > 0，都有 ( ) > 1．
所以对任意 ≤ 1，关于 的方程 ( ) = 一定无解．
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