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专题2 整式、分式、二次根式及因式分解
一．选择题
1．（2025 湖州一模）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab
2．（2025 温岭市二模）下列运算正确的是（　　）
A．a5﹣a2＝a3 B．a2 a5＝a7 C．（a2）4＝a6 D．a6÷a3＝a2
3．（2025 龙泉市一模）下列运算正确的是（　　）
A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2 m3＝m5
4．（2025 衢州一模）计算：＝（　　）
A． B．3a C． D．3
5．（2025 定海区一模）下列运算正确的是（　　）
A．2a2+4a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2 C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
6．（2025 萧山区模拟）在学习过程中，甲同学认为：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同学认为：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．请对两位同学的说法进行判断（　　）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
7．（2025 杭州一模）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣xy B．x2﹣y2 C．x2+xy D．x2+y2
8．（2025 衢州一模）因式分解：＝（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B．
C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2
10．（2025 浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025 拱墅区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
12．（2025 拱墅区一模）下列等式变形正确的是（　　）
A．若ax＝a，则x＝1 B．若，则x＝a C．若x4＝a4，则x＝a D．若，则x＝a
13．（2025 台州一模）若，ab＝12，则a﹣b的值为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025 镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
二．填空题
15．（2025 拱墅区一模）化简：x+2x﹣5x＝ 　 　 ．
16．（2025 浙江模拟）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，则m2+n2＝　 　 ．
17．（2025 温州一模）分解因式：a2﹣8a＝　 　 ．
18．（2025 鹿城区二模）分解因式：a2+10a+25＝　 　 ．
19．（2025 衢江区一模）因式分解：a2﹣16＝　 　 ．
20．（2025 新昌县一模）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为　 　 ．
21．（2025 绍兴一模）请写出一个大于2且小于3的二次根式：　 　 ．
22．（2025 西湖区一模）计算：（﹣2）2＝　 　 ；＝　 　 ．
23．（2025 浙江模拟）已知（a﹣b）2＝1，（a+b）2＝25，则ab的值为　 　 ．
三．解答题
24．（2025 浙江模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式　 　 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
25．（2025 金东区二模）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中．
26．（2025 衢州一模）先化简，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝．
27．（2025 杭州模拟）先化简，再求值：，其中a＝1．
28．（2025 萧山区一模）计算：．
29．（2025 金华模拟）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值：，其中a＝﹣1．解：原式＝①＝2a﹣1（a+2）……②＝a﹣2 ③当a＝﹣1时，原式＝﹣3
30．（2025 鄞州区校级模拟）先化简，再求值：，其中．
答案与解析
一．选择题（共14小题）
1．（2025 湖州一模）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．3a+2b＝5ab D．3ab﹣ba＝2ab
【点拨】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解析】解：A、3a+2a＝5a≠5a2，故A错误；
B、3a2﹣2a≠a，故B错误；
C、3a+2b≠5ab，故C错误；
D、3ab﹣ba＝2ab，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
2．（2025 温岭市二模）下列运算正确的是（　　）
A．a5﹣a2＝a3 B．a2 a5＝a7 C．（a2）4＝a6 D．a6÷a3＝a2
【点拨】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解析】解：A、a5与a2不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a2 a5＝a7，故该项正确，符合题意；
C、（a2）4＝a8，故该项不正确，不符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2025 龙泉市一模）下列运算正确的是（　　）
A．m2+m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2 m3＝m5
【点拨】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则对每个选项进行逐一判断即可．
【解析】解：∵m2与m3不是同类项，不能合并，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵m6÷m2＝m4，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（2m3）2＝4m6，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵m2 m3＝m5，
∴D选项的运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质和同底数幂的乘法法则的应用，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
4．（2025 衢州一模）计算：＝（　　）
A． B．3a C． D．3
【点拨】根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相减进行计算即可．
【解析】解：原式＝
＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式加减法则．
5．（2025 定海区一模）下列运算正确的是（　　）
A．2a2+4a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2 C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
【点拨】利用平方差公式，合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则逐项判断即可．
【解析】解：2a2+4a2＝6a2，则A不符合题意，
a8÷a4＝a4，则B不符合题意，
（﹣3a3）2＝9a6，则C不符合题意，
（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，则D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（2025 萧山区模拟）在学习过程中，甲同学认为：如果a2＝b2，那么a2+b2＝2ab；乙同学认为：如果a2+b2＝2ab，那么a2＝b2．请对两位同学的说法进行判断（　　）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【点拨】由a2＝b2得a2﹣b2＝0，利用平方差公式可得a＝±b，从而可得a2+b2＝±2ab；由a2+b2＝2ab可得a2+b2﹣2ab＝0，利用完全平方公式可得a＝b，从而可得a2＝b2；据此判断即可．
【解析】解：∵a2＝b2，
∴a2﹣b2＝0，
∴（a+b）（a﹣b）＝0，
∴a＝±b，
则a2+b2＝±2ab；
∵a2+b2＝2ab，
∴a2+b2﹣2ab＝0，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
则a2＝b2；
综上，仅乙正确，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键．
7．（2025 杭州一模）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣xy B．x2﹣y2 C．x2+xy D．x2+y2
【点拨】将A、B、C、D分别因式分解，符合a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）形式的即可用平方差公式进行因式分解．
【解析】解：A、x2﹣xy＝x（x﹣y），不符合平方差公式，故本选项错误；
B、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），符合平方差公式，故本选项正确；
C、x2+xy＝x（x+y），不符合平方差公式，故本选项错误；
D、x2+y2不符合平方差公式，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是明白平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．
8．（2025 衢州一模）因式分解：＝（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意，利用平方差公式进行因式分解即可．
【解析】解：
＝
＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解﹣公式法，掌握公式法进行因式分解是解题的关键．
9．（2025 浙江模拟）下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B．
C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2
【点拨】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【解析】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
10．（2025 浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用分式的基本性质逐项判断即可．
【解析】解：当a＝0时，，则A不符合题意，
无法约分，则B不符合题意，
当c≠0时，，则C不符合题意，
，则D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
11．（2025 拱墅区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【点拨】根据分式的值为零的条件，可得x﹣1＝0，由此解答即可．
【解析】解：∵分式，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
12．（2025 拱墅区一模）下列等式变形正确的是（　　）
A．若ax＝a，则x＝1 B．若，则x＝a
C．若x4＝a4，则x＝a D．若，则x＝a
【点拨】根据等式的性质，分式方程的解法，分式有意义的条件以及偶次方、算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解析】解：A．若ax＝a，当a≠0时，x＝1，当a＝0时，x为任意数，因此选项A不符合题意；
B．若＝1，而a≠0，所以x＝a，因此选项B符合题意；
C．若x4＝a4，则x＝±a，因此选项C不符合题意；
D．若＝a，则x＝±a，而a≥0，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，二次根式的性质与化简，掌握等式的性质，分式方程的解法以及分式有意义的条件是正确解答的关键．
13．（2025 台州一模）若，ab＝12，则a﹣b的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先根据已知条件和完全平方公式求出a2+b2，再求出（a﹣b）2，最后根据平方根的定义进行解答即可．
【解析】解：∵，ab＝12，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝
＝75﹣24
＝51，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝51﹣2×12
＝51﹣24
＝27，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和平方根，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方根定义．
14．（2025 镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
【点拨】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解．
【解析】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案．
二．填空题
15．（2025 拱墅区一模）化简：x+2x﹣5x＝ 　﹣2x　 ．
【点拨】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解析】解：x+2x﹣5x＝（1+2﹣5）x＝﹣2x．
故答案为：﹣2x．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（2025 浙江模拟）已知m+n＝5，m﹣n＝﹣1，则m2+n2＝　13　 ．
【点拨】先将m+n＝5，m﹣n＝﹣1变形为（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，化简后两式相加即可求解．
【解析】解：由条件可知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝1，
即m2+2mn+n2＝25①，m2﹣2mn+n2＝1②，
两式相加得2m2+2n2＝26，
∴m2+n2＝13，
故答案为：13．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式内容是解题的关键．
17．（2025 温州一模）分解因式：a2﹣8a＝　a（a﹣8）　 ．
【点拨】提取公因式a即可得解．
【解析】解：a2﹣8a＝a（a﹣8）．
故答案为：a（a﹣8）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定出公因式为a是解题的关键．
18．（2025 鹿城区二模）分解因式：a2+10a+25＝　（a+5）2　 ．
【点拨】根据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，原式化成二项式平方．
【解析】解：a2+10a+25＝（a+5）2；
故答案为：（a+5）2．
【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．（2025 衢江区一模）因式分解：a2﹣16＝　（a+4）（a﹣4）　 ．
【点拨】利用平方差公式，进行分解即可解答．
【解析】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4），
故答案为：（a+4）（a﹣4）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
20．（2025 新昌县一模）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为　x＞1　 ．
【点拨】根据二次根式、分式有意义的条件，可得x﹣1＞0，然后根据一元一次不等式的解法，求出x的取值范围即可．
【解析】解：∵代数式在实数内范围有意义，
∴x﹣1＞0，
解得x＞1，
即x的取值范围为：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】（1）此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
（2）此题还考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
21．（2025 绍兴一模）请写出一个大于2且小于3的二次根式：　（答案不唯一）　 ．
【点拨】根据完全平方数，即可解答．
【解析】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴写出一个大于2且小于3的无理数是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，实数大小比较，无理数，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
22．（2025 西湖区一模）计算：（﹣2）2＝　4　 ；＝　　 ．
【点拨】根据有理数的乘方，二次根式的加减法运算法则计算即可．
【解析】解：（﹣2）2＝4，
＝＝，
故答案为：4；．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（2025 浙江模拟）已知（a﹣b）2＝1，（a+b）2＝25，则ab的值为　6　 ．
【点拨】根据完全平方公式，把已知条件展开，两式相减即可求出ab的值．
【解析】解：∵（a﹣b）2＝1，
∴a2﹣2ab+b2＝1①，
∵（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25②，
②﹣①，得4ab＝24，
解得：ab＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
三．解答题
24．（2025 浙江模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式　　 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【点拨】（1）观察给出的三个等式，可以发现以下规律：第n个等式的左边为，右边为，分数的分子比分母大1，且右边的整数等于分子．验证等式两边的计算结果相等：左边：；右边：；因此左边等于右边．
（2）第n个不等式的一般形式为．
【解析】（1）解：；
（2）证明：，
＝
＝
＝，
所以右＝左，即等式成立．
【点睛】本题考查了规律题，数字的变化，推理能力和运算能力，正确找出规律是解题的关键．
25．（2025 金东区二模）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣6），其中．
【点拨】根据平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解析】解：原式＝4x2﹣9﹣（4x2﹣24x）
＝4x2﹣9﹣4x2+24x
＝24x﹣9，
当x＝时，原式＝24×﹣9＝﹣3．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
26．（2025 衢州一模）先化简，再求值：（m+2n）2﹣4n（m﹣n），其中m＝﹣1，n＝．
【点拨】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将m、n的值代入化简后的式子计算即可．
【解析】解：（m+2n）2﹣4n（m﹣n）
＝m2+4mn+4n2﹣4mn+4n2
＝m2+8n2，
当时，原式＝＝3．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
27．（2025 杭州模拟）先化简，再求值：，其中a＝1．
【点拨】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝1代入进行计算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝1时，
原式＝．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
28．（2025 萧山区一模）计算：．
【点拨】先进行乘方运算，再根据二次根式的乘法法则运算，然后进行乘法运算，最后进行有理数的减法运算．
【解析】解：原式＝﹣×（﹣8）﹣
＝5﹣4
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
29．（2025 金华模拟）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值：，其中a＝﹣1．解：原式＝①＝2a﹣1（a+2）……②＝a﹣2 ③当a＝﹣1时，原式＝﹣3
【点拨】根据目中的解答过程可知，第①步出现错误，错误的原因是分式同时乘（a2﹣4）后，所得的值和原来的分式的值不相等，然后根据分式化简求值的方法，写出正确的解答过程即可．
【解析】解：由题目中的解答过程可知，第①步出现错误，错误的原因是分式同时乘（a2﹣4）后，所得的值和原来的分式的值不相等，
正确解答过程如下：
＝
＝
＝
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
30．（2025 鄞州区校级模拟）先化简，再求值：，其中．
【点拨】利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再利用非负数的性质求出a、b的值，最后代入化简后的结果中计算即可求解．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵，
∴a﹣5＝0，b﹣2＝0，
∴a＝5，b＝2，
∴原式＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
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