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单元检测卷(二)　函数概念与基本初等函数Ⅰ
(分值：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2025·郑州模拟]函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(－∞，0] B.(－∞，1)
C.[0，1) D.[0，＋∞)
2.[2025·广州模拟]若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　)
A.2 B.1
C.－1 D.－2
3.[2024·合肥三模]函数f(x)＝的图象大致是(　　)
A.A B.B
C.A D.D
4.[2024·邵阳三模]下列函数对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f≥成立的是(　　)
A.f(x)＝ln x B.f(x)＝x2＋1
C.f(x)＝2x D.f(x)＝x
5.[2025·泰安模拟]已知a＝log0.20.3，b＝ln a，c＝2a，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>b>a B.a>b>c
C.b>a>c D.c>a>b
6.[2025·盐城模拟]函数y＝cos x与y＝lg|x|的图象的交点个数是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
7.[2024·盐城质检]一般地，设A，B分别为函数y＝f(x)的定义域和值域，如果由函数y＝f(x)可解得唯一的x＝φ(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B，都有唯一的x∈A与之对应)，那么就称x＝φ(y)是函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f－1(y).在x＝f－1(y)中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成y＝f－1(x)的形式.例如函数f(x)＝2x－1的反函数为f－1(x)＝.设g(x)＝(x＞1)，则函数h(x)＝x＋g－1(x)的值域为(　　)
A.[8，＋∞) B.(8，＋∞)
C.(，＋∞) D.[9，＋∞)
8.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)＝log2＋b，若函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则logab＝(　　)
A.－3 B.－2
C.－ D.－
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2025·郑州模拟]溶液酸碱度是通过pH来计量的.pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10－7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH＝7(例如：纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　　)
A.若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10－8摩尔/升
B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH约为1.6
C.若海水中的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水的pH是8.6
D.若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，则该种水适合饮用
10.[2025·温州模拟]已知函数f(x)＝，则(　　)
A.不等式|f(x)|<的解集是(－1，1)
B. x∈R，有f(－x)＝f(x)
C.f(x)在R上单调递减
D.f(x)的值域为(－1，1)
11.[2025·浙江名校联考]已知f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，当x2＞x1＞0时，x1x2[f(x1)－f(x2)]＋x1－x2＞0恒成立，则(　　)
A.y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增
B.y＝f(x)－在(0，＋∞)上单调递减
C.f(2)＋f(－3)＞
D.f(2)－f(－3)＞
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·广州三模]函数f(x)＝，其中a>0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为________.
13.[2024·西安三模]已知函数f(x)＝＋ln，若f(a－1)＋f(2a2)>2，则a的取值范围为________.
14.[2025·青岛模拟]若x0是方程f(g(x))＝g(f(x))的实数解，则称x0是函数y＝f(x)与y＝g(x)的“复合稳定点”.若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)与g(x)＝2x－2有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2025·邢台模拟]已知函数f(x)＝＋a，且f(lg 2)＋f(lg 5)＝3.
(1)求a的值；
(2)当x∈[－1，1]时，f(x)≥4x＋m恒成立，求m的取值范围.
16.(15分)[2025·济南模拟]若f(x)＝logax(a>0，a≠1).
(1)y＝f(x)过(4，2)，求f(2x－2)(2)存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列，求a的取值范围.
17.(15分)[2024·西安二模]设函数f(x)＝3x－2－|x－1|.
(1)求不等式f(x)<4的解集；
(2)若方程f(x)＝x2＋ax－1有两个不等实数根，求a的取值范围.
18.(17分)[2025·海口质检]已知函数f(x)＝log为奇函数.
(1)求常数k的值；
(2)当x＞1时，判断f(x)的单调性；
(3)若函数g(x)＝f(x)－()x＋m，且g(x)在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围.
19.(17分)[2024·菏泽质检]设a，b∈R，若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，反之，若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b.已知函数g(x)＝.
(1)证明：函数g(x)的图象关于点(－1，4)对称；
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1，2)对称，当x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1.若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[2，4]，使得h(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围.
单元检测卷(二)　函数概念与基本初等函数Ⅰ
1.A　[函数f(x)＝有意义，等价于解得x≤0，故函数的定义域为(－∞，0].]
2.A　[因为幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是增函数，所以解得m＝2.故选A.]
3.D　[由题f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故A错；
当x>2时，f(x)＝＝＝x－是增函数，故BC错.]
4.A　[满足f≥，则函数为上凸函数，
对于A，f(x)＝ln x的图象在(0，＋∞)上是上凸的，符合题意；
对于B，f(x)＝x2＋1的图象(0，＋∞)上是下凸的，不符合题意；
对于C，f(x)＝2x的图象(0，＋∞)上是下凸的，不符合题意；
对于D，f(x)＝x的图象(0，＋∞)上是下凸的，不符合题意；]
5.D　[因为log0.2120，即c>1，综上，c>a>b.]
6.D　[函数y＝cos x与y＝lg|x|都是偶函数，其中cos 2π＝cos 4π＝1，
lg 4π>lg 10＝1>lg 2π，
在同一坐标系中，作出函数y＝cos x与y＝lg|x|的图象，如图，
由图可知，两函数的交点个数为6.]
7.D　[由题意可得g－1(x)＝(x＞4)，
则h(x)＝x＋＝＝＝(x－4)＋＋5(x＞4)，
由x－4＞0，根据基本不等式，h(x)≥2×＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，故h(x)的值域为[9，＋∞).故选D.]
8.C　[依题意f(x)＋f(2－x)＝0恒成立，代入得
f(x)＋f(2－x)＝2b＋log2＋log2＝0
化简得，2b＋log2[a2－－＋)]＝0，
整理得：2b＋log2[a2－－＋)]＝0，
即2b＋log2[a2＋＋]＝0(*)，依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使1－4a＝0，则得a＝，代入(*)可得，2b－4＝0，即b＝2，故logab＝－.]
9.ABC　[对于A，若苏打水的pH是8，则8＝－lg[H＋]，所以[H＋]＝
10－8摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中[H＋]＝2.5×10－2摩尔/升，则pH＝－lg[H＋]＝
－lg(2.5×10－2)＝－＝－(lg 5－lg 2－2)＝
－(1－2lg 2－2)＝1＋2lg 2≈1＋2×0.3＝1.6，所以B正确；
对于C，若海水中的氢离子浓度是纯净水的10－1.6倍，则海水中的氢离子浓度[H＋]＝10－7×10－1.6＝10－8.6摩尔/升，所以海水的pH＝－lg[H＋]＝－lg(10－8.6)＝8.6，所以C正确；
对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10－7摩尔/升，即[H＋]＝4×10－7摩尔/升，则其pH＝－lg[H＋]＝－lg(4×10－7)＝－(2lg 2－7)≈7－2×0.3＝6.4<6.5，所以该种水不适合饮用，所以D错误.综上，选ABC.]
10.AD　[对于A，|f(x)|<，即－<<，即－<1－<，即<<，即<2x＋1<3，即<2x<2，所以－1对于B，f(－x)＝＝＝－f(x)，故B错误；
对于C，f(x)＝1－，因为u＝2x＋1在R上单调递增，且u>1，y＝1－在u>1时单调递增，所以f(x)在R上单调递增，故C错误；
对于D，记y＝f(x)＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x>0得，>0，解得－111.BC　[因为当x2＞x1＞0时，x1x2[f(x1)－f(x2)]＋x1－x2＞0，可以化简为f(x1)－f(x2)＞－＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.因为函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以选项A错误；
由f(x1)－f(x2)＞－＞0可得
f(x1)－－[f(x2)－]＞－＞0，
所以函数y＝f(x)－在(0，＋∞)上单调递减，所以选项B正确；
取x1＝2，x2＝3，则f(2)－f(3)＞－＝，
因为函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)，
所以f(2)＋f(－3)＞，所以选项C正确；
f(x)在(0，＋∞)上单调递减，但函数解析式不确定，所以可取
f(2)＝，f(3)＝－，则f(2)－f(－3)＝f(2)＋f(3)＝－＝－＜，所以选项D错误.故选BC.]
12.4(答案不唯一)　[因为a>0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：f(x)在R上单调递增，解得≤a≤5.可取值为4(答案不唯一).]
13.　[由条件知x∈R，令g(x)＝f(x)－1
＝＋ln(－x)－1，
则g(－x)＝＋ln－1＝＋ln，易知g(x)＋g(－x)＝0，即g(x)为奇函数，又f(x)＝＋ln，易知y＝，y＝在x>0时单调递减，由复合函数的单调性及奇函数的性质得g(x)＝f(x)－1在R上单调递减，
对于f(a－1)＋f(2a2)>2 g(a－1)＋g(2a2)>0 g(a－1)>g(－2a2)，
所以a－1<－2a2 a∈(－1，).]
14.(，＋∞)　[∵f(x)＝ax(a>0且a≠1)与g(x)＝2x－2有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
∴a2x－2＝2ax－2，即(ax)2－2a2ax＋2a2＝0有两个不同实根，令t＝ax，则t2－2a2t＋2a2＝0
在(0，＋∞)上有两个不同实根，
∴ a2>2 a>，
则a的取值范围为(，＋∞).]
15.解　(1)因为f(x)＝＋a，所以f(x)＋f(1－x)＝＋a＋＋a＝＋＋2a＝1＋2a，
因为lg 2＋lg 5＝1，所以f(lg 2)＋f(lg5)＝1＋2a＝3，则a＝1.
(2)由(1)可知，f(x)≥4x＋m等价于(4x)2＋m·4x＋2m－2≤0.
令t＝4x，则t∈，原不等式等价于t2＋mt＋2m－2≤0在上恒成立，
则解得m≤－，
故m的取值范围为.
16.解　(1)因为y＝f(x)的图象过(4，2)，故loga4＝2，故a2＝4即a＝2(负值舍去)，所以f(x)＝log2x，
而f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，故f(2x－2)故f(2x－2)(2)因为存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列，
故2f(ax)＝f(x＋1)＋f(x＋2)有解，故2loga(ax)＝loga(x＋1)＋loga(x＋2)，
因为a>0，a≠1，故x>0，故a2x2＝(x＋1)(x＋2)在(0，＋∞)上有解，
由a2＝＝1＋＋＝22－在(0，＋∞)上有解，令t＝∈(0，＋∞)，而y＝22－在(0，＋∞)上的值域为(1，＋∞)，故a2>1即a>1.
故实数a的取值范围是(1，＋∞).
17.解　(1)因为f(x)＝3x－2－|x－1|＝，
所以不等式f(x)<4即或
解得1≤x<或x<1，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，).
(2)因为方程f(x)＝x2＋ax－1有两个不等实数根，即方程3x－1－|x－1|＝x2＋ax有两个不等实数根，显然x＝0不是方程的根，故a＝，
令g(x)＝＝
当x<0时，－x－＋4＝＋4≥2＋4，当且仅当x＝－时取等号，
又g(1)＝1，且对勾函数y＝x＋的单调递减区间为(－，0)，(0，)，单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞), 作出g(x)的图象，如图所示：
要使方程f(x)＝x2＋ax－1有两个不等实数根，
即y＝a与y＝g(x)有两个交点，由图可知a<1或a>2＋4，
即实数a的取值范围为(－∞，1)∪(2＋4，＋∞).
18.解　(1)由f(－x)＝－f(x)，
即log＝－log，
得log＝log，
所以＝，
故k2x2－1＝x2－1，则k＝±1，
当k＝1时，＝－1显然不符合题意；
经验证k＝－1符合题意，所以k＝－1.
(2)由(1)知：f(x)＝log，
若 x1＞x2＞1，
则f(x1)－f(x2)
＝log－log
＝log
＝log，
而0＜x1x2－x1＋x2－1＜x1x2＋x1－x2－1，
即0＜＜1，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
(3)由g(x)＝log－()x＋m，
令g(x)＝0，所以m＝()x－log.
由(2)知f(x)在[3，4]上单调递增，
而y＝()x在[3，4]上单调递减，
所以h(x)＝()x－log在[3，4]上单调递减，
则h(x)∈[＋log2，].
又m＝h(x)在区间[3，4]上无解，
故实数m的取值范围为
(－∞，＋log2)∪(，＋∞).
19.(1)证明　∵g(x)＝，x≠－1，
∴g(－2－x)＝，
∴g(x)＋g(－2－x)＝＋＝8.
即对任意的x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
都有g(x)＋g(－2－x)＝8成立，
∴函数g(x)的图象关于点(－1，4)对称.
(2)解　若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[2，4]，使得h(x1)≤g(x2)成立，
则h(x)max≤g(x)max.
∵g(x)＝＝4－，
易知g(x)在[2，4]上单调递增，
∴g(x)max＝g(4)＝3.
∵x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1，
∴h(1)＝2，
即函数h(x)的图象过对称中心(1，2).
当≤0，即m≤0时，
函数h(x)在[0，1]上单调递增，
由对称性知，h(x)在[1，2]上单调递增，
∴函数h(x)在[0，2]上单调递增，
∴h(x)max＝h(2)＝4－h(0)＝3－m≤3，
∴m≥0，即m＝0；
当0＜＜1，即0＜m＜2时，
函数h(x)在上单调递减，在上单调递增.
由对称性，知h(x)在上单调递增，在上单调递减.
∴h(x)max＝h(0)或h.
∵0＜m＜2，∴h(0)＝m＋1＜3，
易知h＝4－h
＝－m＋3＜3，
即0＜m＜2时符合条件；
当≥1，即m≥2时，函数h(x)在[0，1]上单调递减.
由对称性，知h(x)在[1，2]上单调递减.
∴函数h(x)在[0，2]上单调递减，
∴h(x)max＝h(0)＝m＋1≤3，
∴m≤2，即m＝2.
综上，实数m的取值范围为[0，2].

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