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2024-2025 学年四川省绵阳外国语学校高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 2 ，则 ′( ) =( )
A. 1 ln2 B. 2 ln C. ln2 D. 2
ln2
2.已知数列 中， 1 = 2， +1 = + ∈ N ，则 4的值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3.(2 1)5的展开式的二项式系数和为( )
A. 1 B. 1 C. 32 D. 32
4.设等差数列 的前 项和为 ，若 4 = 20, 5 = 30，则 6 =( )
A. 40 B. 42 C. 44 D. 46
5.已知函数 ( ) = 2 ( )，曲线 = ( )在点 = 1 处的切线方程是 = 2 1，则曲线 = ( )在点 = 1
处的切线方程是( )
A. = 4 + 3 B. = 4 3 C. = 3 4 D. = 2 3
6.甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有( )
A. 72 种 B. 120 种 C. 180 种 D. 144 种
7 1.数列{ }满足 2
4
+1 = +2( ∈ N )，且 4 = 45, 2 3 = 72，则 =1 =( )
A. 158 B.
8 5 8
15 C. 8 D. 5
8.已知 = e0.2 1， = ln1.2， = tan0.2，其中 e = 2.71828 为自然对数的底数，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 2 2 + 2 + 1 在 = 1 处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A. = 1 或 = 3
B.函数 ( )有且仅有一个零点
C.函数 ( )恰有两个极值点
D.函数 ( )在 0, 65 有最小值，无最大值
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10.现安排高二年级 ， ， 三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一
个社区，则下列结果正确的是( )
A.所有可能的方法有35种
B.若同学 不去社区甲， 不去社区乙，则不同的安排方法有 80 种
C.若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有 61 种
D.若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有 60 种
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数
分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点
个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{ }，正方形数构成数列{ }，则下列说法正
确的是( )
A. 1 + 1 +
1
+ +
1
1 2 3
< 2；

B. 1225 既是三角形数，又是正方形数；
C. 10 =1 ( 1)
= 50；
D. ∈ N+, ≥ 2,总存在 、 ∈ N+，使得 = + 成立；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.二项式(1 2 )6的展开式中含 4的系数为 (用数字作答)．
13.首项为 24 的等差数列，当且仅当 = 9 时 取最小值，则公差 的取值范围是
14 2 1.函数 ( ) = 1有两个不同零点，则实数 的取值范围是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列 的前 项和为 ， 2 = 3．
(1)若 是正项等比数列，且 4 = 15，求 ；
(2)若 +2 = + 2，求 30．
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16.(本小题 15 分)
函数 ( ) = 3 6 2 + ( , 为常数, ≠ 0)
(1)若 ( )在 = 0 处取得极小值，求实数 的取值范围，
(2)若 ( )在区间[ 1,2]上的最大值是 3，最小值是 29，求 + 的值．
17.(本小题 15 分)
{ } +2已知数列 的前 项和为 ， 1 = 1，且 +1 = ．
(1)求 ；
(2)求{ }的通项公式；
(3)已知数列 的通项公式为 = ln ，且 ≤ 对任意的 ∈ N+都成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 2 )， ( ) = + ln
(1)试讨论 ( )在[1, + ∞)上的单调性
(2)若 = 1， ≤ 1,求证： ( ) ≥ ( ) + 1
19.(本小题 17 分)
数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，我国的 5 +技
术领先世界．目前某区域市场中 5 +智能终端产品的制造只由 公司及 公司提供技术支持．据市场调研预
5 + 0 0测， 商用初期，该区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品分别占比 0 = 55 0及 0 = 45 0，
假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用 公司技术的产
0 0
品中恰有 20 0转而采用 公司技术，采用 公司技术的恰有 5 0转而采用 公司技术，设第 次技术更新后，该
区域市场中采用 公司与 公司技术的智能终端产品占比分别为 及 ，不考虑其它因素的影响．
(1)求 与 +1的递推关系式
(2)求数列{ }的通项公式
(3)设 4 = ( 5 )，求{ }的前 项和
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.240
13. 83 , 3
3
14.(0,1) ∪ (4 2, + ∞)
15.【详解】(1)因为 是等比数列，设首项为 1，公比为 ，
由 4 = 15， 2 = 3 知， ≠ 1，
= 1 1
2 1 1 4所以 2 1 = 3①； 4 = 1 = 15②
②
①得 1 +
2 = 5，又 > 0 所以 = 2，
代入①得 = 1，所以 1 11 = 1 = 2
(2)因为 +2 = + 2，所以 +2 = 2 为常数
所以 1, 3, 5, , 29是以 1为首项，公差为 2 的等差数列，
2, 4, 6, , 30是以 2为首项，公差为 2 的等差数列，
故 30 = 1 + 3 + + 29 + 2 + 4 + + 30
15 × 14 15 × 14
= 15 1 + 2 × 2 + 15 2 + 2 × 2 = 15 2 + 420 = 465
16.【详解】(1)因为 ′( ) = 3 2 12 = 3 ( 4)，
令 ′( ) = 3 ( 4) = 0 得 = 0 或 = 4，
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当 > 0 时， ∈ ( ∞,0) ′( ) > 0, ∈ (0,4) ′( ) < 0,
所以 ( )在( ∞,0)递增，在(0,4)递减，则 = 0 为极大值点，不符合题意；
当 < 0 时， ∈ ( ∞,0) ′( ) < 0, ∈ (0,4) ′( ) > 0,
( )在( ∞,0)递减，在(0,4)递增，则 = 0 为极小值点，符合题意；
所以 的取值范围为( ∞,0)．
(2)当 > 0 时， ∈ [ 1,0) ′( ) > 0, ∈ (0,2] ′( ) < 0,
( )在[ 1,0)递增，在(0,2]递减，
又 ( 1) = 7 + ， (2) = 16 + ，
∴ ( )min = (2) = 16 + = 29，∴ ( )max = (0) = = 3，
∴ = 2, = 3，满足 > 0，则 + = 5，
当 < 0 时， ∈ [ 1,0) ′( ) < 0, ∈ (0,2] ′( ) > 0,
( )在[ 1,0)递减，在(0,2]递增，
∴ ( )min = (0) = = 29，∴ ( )max = (2) = 16 + = 3，
∴ = 2, = 29，满足 < 0，则 + = 31，
综上： + = 5 或 + = 31．
17. +2【详解】(1)法 1：由 +11 = 1，得 1 = 1 = 1，而 = ，当 ≥ 2 时，
= 1·
2 3 3 4 5 +1 ( +1)
· · · = 1 × × × × × × = ，1 2 1 1 2 3 2 1 2
= 1 ( +1)而 1 满足上式，所以 = 2 ．
2 +1 = +2 +1 = 法 ：由 ，得 ，则 +1 +2 ( +2)( +1) = ( +1) ，
1 ( +1)
因此数列{ 1 1( +1) }是常数列，则( +1) = (1+1)×1 = 2 = 2，即 = 2 ，
所以 = ( +1) 2 ．
(2)由(1)得，当 ≥ 2 时， 1 =
( 1)
2 ，
则 = 1 =
( +1) ( 1)2 2 = ，而 1 = 1 满足上式，
所以{ }的通项公式 = ．
(3)由(2)得 = ln ，依题意，ln ≤ ≥
ln
对任意的 ∈ N 都成立，
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ln 1 ln
设函数 ( ) = ， > 0，求导得
′( ) = 2 ，
当 0 < < e 时， ′( ) > 0；当 > e 时， ′( ) < 0，
函数 ( )在(0, e) 1上单调递增，在(e, + ∞)上单调递减，则 ( )max = (e) = e，
ln2 = ln4 < ln3 ln ln3 ln3而 2 4 3 ，因此当 ∈ N 时，( )max = 3 ，则 ≥ 3 ，
所以 [ ln3的取值范围是 3 , + ∞)．
18. (1) ′( ) = + 1 +1【详解】 = ，因为 ≥ 1，
所以：当 ≥ 0 +1时， ′( ) = ≥ 0，则 ( )在[1, + ∞)上单调递增；
< 0 +1 1当 时，由 ′( ) = = 0 得 = > 0
若 0 < 1 ≤ 1，即 ≤ 1，当 ≥ 1 时， + 1 ≤ 0，则
′( ) = +1 ≤ 0，
所以 ( )在[1, + ∞)上单调递减；
1 1若 > 1，即 1 < < 0，当 ∈ [1, ), ′ ( ) > 0, ( )单调递增；
∈ [ 1 , + ∞),
′( ) < 0, ( )单调递减；
综上所述：当 ≥ 0 时， ( )在[1, + ∞)上单调递增；
当 ≤ 1， ( )在[1, + ∞)上单调递减；
当 1 < < 0， ( )在[1, 1 )
1
单调递增；在[ , + ∞)单调递减；
(2)当 = 1 时， ( ) = + ln ，
要证 ( ) ≥ ( ) + 1，即证 (e2 ) ( + ln ) ≥ 1，
又∵ ≤ 1, ∴ ≥ 1, ∴ 2 ≥ e2 1，且 > 0 即证 (e2 1) ( + ln ) > 1，
设 ( ) = (e2 1) ( + ln ) = e2 2 ln ，
′( ) = (2 + 1)(e2 1 )( > 0)，
再设 ( ) = e2 1 ( > 0)，
∴ ′( ) = 2e2 + 1 1 2 > 0，且 ( 4 ) = e 4 < 0, (1) = e
2 > 0，
∴ ∈ ( 1 , 1)，使 ( ) = 0，即使 ′( ) = (2 + 1)(e2 10 4 ) = 0，
当 ∈ (0, ′0)， ( ) < 0，当 ∈ ( 0, + ∞)， ′( ) > 0
1
，且e2 0 = 0，0
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则 ln 2 0 = ln 1 ，即 2 0 = ln
1
0
= ln 0，
0
∴ ( )min = ( 2 0) = 0e 0 2 0 ln 0 =
1
0· 2 0 + 2 0 = 1，0
∴ ( ) ≥ 1，即 ( ) ≥ ( ) + 1．
19.【详解】(1)由题意可知经过 次技术更新后 + = 1，
则 +1 = (1 20
0
0 )
0 4 1 3 1
+ 5 0 = 5 + 20 (1 ) = 4 + 20
即 +1 =
3
4 +
1
20，
(2) 3 3 由题意，可设 +1 = 4 ( ) +1 = 4 + 4
= 1所以4 20 =
1
5，
= 3 1 31 1 31 1 3又 1 4 0 + 20 = 80，所以 1 5 = 80 5 = 16
{ 1所以 5 }
3 3
是以16为首项，4为公比的等比数列．
1 = ( 1 )( 3所以 5 1 5 4 )
1 3 3 1 1 1 3 1 = 16 ( 4 ) + 5 = 4 ( 4 ) + 5
(3)又 + = 1，则 =
4 1 3
5 4 ( 4 ) ，
4 3
∴ = (5 ) = ( )

4 4
= 1 ( 3 )1 + 2 3所以： 2 4 4 4 ( 4 ) + + 4 (
3
4 )

3 1 3 2 3 1 3 3
4 = ( )
2 + 3 +14 4 4 (4 ) + + 4 (4 ) + 4 (4 )
1 1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 3两式相减得： +14 = 4 ( 4 ) + 4 ( 4 ) + 4 ( 4 ) + + 4 ( 4 ) 4 ( 4 )
3 3 12+ 3 3
∴ = 3 (3 + 4 )(4 )
= 3 4 (4 )
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