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2025年苏州中考数学冲刺预测卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：130分）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果等于( )
A. B. C. D.
2.截至年月日，《哪吒之魔童闹海》《哪吒全球累计票房亿元将“亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.在中，，小明按照下面的方法作图：以为圆心为半径画弧，交于点；分别以，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；作射线，交于点根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是( )
A. 是中点 B.
C. D.
第4题 第7题 第8题
5.已知一组数据，，，，，，第四个两位数的个位数字被墨水涂污，关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数
6.《九章算术》中记载：今有上等稻捆，其所得谷粒减去升相当于下等稻捆所得谷粒：下等稻捆，其所得谷粒减去升相当于上等稻捆所得谷粒问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
7.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点若为轴上一个动点，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若非零有理数、同号，求的值为______．
10.因式分解： ______．
11.不等式的解集是______．
12.小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，
小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为______．
13.若是方程的根，则代数式的值是______．
14.如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，且，连接，若，则的长为______结果保留
（14题） （15题） （16题）
15.如图，将个边长均为的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点、，则直线的表达式为______．
16.如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为边上的动点，连接，将沿所在直线翻折得到，点到直线的最小距离是______；连接，则的最小值是______．
三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分计算：．
18. 本小题分解方程：．
19.本小题分先化简，再求值：，其中．
20.本小题分如图所示，在中，，，，为的中点，点在线段上由点出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动，设运动时间为．
若点与点的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由．
若点的速度比点的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．
21.本小题分
某城市公共交通系统推出一种新型的智能公交卡：每次刷卡乘坐公交车时，系统会随机给予乘客一个“幸运积分”，分值为，，分，每个积分值出现的可能性均相等嘉嘉每天上下班都需要乘坐公交车，因此嘉嘉一天内会刷卡两次．
用列表或画树状图法、求嘉嘉在某一天两次刷卡后当天累计积分为分的概率的值；
淇淇认为嘉嘉连续两天的每天刷卡的总积分都为分的概率为，你同意淇淇的看法吗？若同意给予证明，若不同意直接写出正确的概率值．
22.本小题分某校为推进“垃圾分类进校园”活动，在八年级班和班开展环保知识竞赛现分别从班、班各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，．
班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，．
【整理数据】两组数据各分数段，如表所示：
成绩
班
班
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
班 和
班
【问题解决】
根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______， ______；
请计算表格中的值．
若、两班总人数相等，请根据上述数据，估计哪个班级学生对环保知识掌握情况较好？请说明理由．
23.本小题分如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
点在线段上，连接，若：：，求点的坐标．
24.本小题分如图，地面上点，，在一条直线上，两个观察者从，两地观测空中处一个无人机，分别测得其仰角为和，已知，两地相距米．
求观测者到处的距离．
当无人机沿着与平行的路线飞行秒后达到，在处测得该无人机的仰角为，求无人机飞行的平均速度结果保留根号
25.本小题分如图，在中，是直径，是弦，点在弧上，且弧与弧相等，与交于点，点为延长线上一点，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．
26.本小题分
已知抛物线为常数，的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点．
Ⅰ当时，
求点和点的坐标；
若直线为常数，与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值；
Ⅱ若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值．
27.本小题分
某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点距地面过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
求该抛物线的函数表达式；
问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
在的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16.
17. 解：原式
．
18. 解：方程两边同乘以，得，即，
解得：，
经检验，是原方程的解．
19. 解：
，
当时，原式．
20. 解：点与点的速度都是，
，
，，，
要使与全等，则需，
即，
，
即经过的时间与全等；
设点的速度是，则点的速度是，
， ，
，
，要使与全等，则需，，
，
解得：，
经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等．
21. 每次刷卡乘坐公交车时，系统会随机给予乘客一个“幸运积分”，分值为，，分，嘉嘉一天内会刷卡两次，列表如下：
共有种等可能结果，其中嘉嘉在某一天两次刷卡后当天累计积分为分的情形有种，
；
不同意同意淇淇的看法；正确概率为；理由如下：
连续两天的刷卡结果是独立事件，
每天积分和为分的概率均为，
因此连续两天的每天刷卡的总积分都为分的概率为：．
22. 将班成绩从低到高排列为：，，，，，，，，，，
处在第名和第名的成绩分别为，，
班的中位数，
班的平均数．
故答案为：，；
班的方差；
班级学生对环保知识掌握情况较好，理由如下：
虽然两个班的平均数相同，但班的中位数、众数均比班高，方差比班小，即班的成绩更稳定，所以班级学生对环保知识掌握情况较好．
23. 由题意，一次函数与反比例函数的图象交于点，，
．
．
反比例函数为．
又将点代入，
．
．
反比例函数解析式为．
又，
，．
．
，．
一次函数解析式为．
由题意，和共顶点，且底边在上，面积比：：，
：：．
如图，分别过、、作轴于，作轴于，作轴于，作于，交于点．
．
：：：．
令，
．
或．
或．
，．
在上，
可设．
，．
：：．
．
．
24. ，，，
，
，
米，
答：观测者到处的距离为米；
过作于，过作于，
则四边形是矩形，
，，
在中，米，米，
在中，，，
米，
在中，，，
米，
米，
无人机飞行的平均速度米秒．
25. 证明：弧与弧相等，
，
，
，
，
为直角三角形，，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接，如图，
弧与弧相等，
．
是直径，
，
，
．
由知：，
，
∽，
，
，
，
由知：．
的长为．
26. Ⅰ，则抛物线的对称轴为直线，
，则点，
则抛物线的表达式为：，
则点、的坐标分别为：、；
如图，由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则，则，
为常数，则当最大时，就最大，
设点，则点，
则，
故当时，最大，即最大；
Ⅱ由题意得：，则点、的坐标分别为、，
如图，作，取，
，
则≌，
则，
则，
故当、、共线时，最小，作轴于点，
由≌，从图上看，相当于将旋转到，
则，，
则点，
由点、的坐标得，，
解得：舍去或．
27. 解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过，
代入顶点式得：，
，
解得：，
；
厢式货车能顺利通过隧道，理由如下：
当宽、高的厢式货车从隧道驶过时，
，
代入解析式得：，
，
厢式货车能顺利通过隧道；
假设，可得，
，
矩形的周长为，
，
当时，的最大值为：；
在的条件下，当矩形周长最大时，，，，
，，
过点作于点，
，
，，
，，
如图，分以下三种情况：
当时，根据旋转的性质得，
由勾股定理得，
，
，
；
当时，；
当时，；
综上所述，旋转角的度数为或或．
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