资源简介

广东省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·广东期末）已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·广东期末）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（　　）
A． B． C．0 D．
3．（2024高二下·广东期末）已知等差数列满足，且，则首项（　　）
A． B．0 C．1 D．3
4．（2024高二下·广东期末）5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（　　）
A．24 B．12 C．48 D．36
5．（2024高二下·广东期末）已知直线与椭圆相切，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广东期末）四棱锥至多有几个面是直角三角形？（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024高二下·广东期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·广东期末）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广东期末）某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（　　）
A．样本的众数为70
B．样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03
C．用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D．用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
10．（2024高二下·广东期末）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的最小值为4
C．当时，则
D．当时，则
11．（2024高二下·广东期末）如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．该正四棱台的高为
C．若.，则动点的轨迹长度是
D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
12．（2024高二下·广东期末）2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有　 　种．
13．（2024高二下·广东期末）已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为　 　.
14．（2024高二下·广东期末）已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为　 　．
15．（2024高二下·广东期末）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值.
16．（2024高二下·广东期末）已知数列满足且.
（1）求的通项公式.
（2）设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
17．（2024高二下·广东期末）已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项；
（3）若第k项是有理项，求k的取值集合．
18．（2024高二下·广东期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.
（1）若平面平面，
①求证：；
②求三棱锥的体积；
（2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.
19．（2024高二下·广东期末）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）求面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为，，
所以的平均数为，
方差.
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的计算公式计算即可．
2．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
由得，即，
当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上单调递减，
所以，当时，.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式和正弦型函数的最小正周期公式，则得出的值，从而得出函数的解析式，再利用x的取值范围和不等式的基本性质，从而画出函数的图象，由图象判断出函数在上的单调性，从而得出函数在的最小值.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，且，
所以，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式以及等差数列的性质，从而得出等差数列的首项的值.
4．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲乙捆绑，有种情况，
将甲和乙看作一个整体，和除丙外的两个人进行全排列，有种情况，
然后将丙进行插空，两边的空不插，共有2空，有种情况，
综上所述，不同的安排方法数有.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和捆绑法、插空法，再结合排列数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方法种数.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：依题意，
联立，得，
化简得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
化简整理得，
所以.
故答案为：C.
【分析】联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆相切得到，从而得出k的值.
6．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，
取四棱锥，其四个侧面均为直角三角形，
又因为四棱锥仅有四个三角形面，
所以四棱锥至多有四个面是直角三角形.
故答案为：C.
【分析】在正方体中考虑一个四棱锥，从而得到四个面均为直角三角形，进而得出四棱锥至多有四个面是直角三角形.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数，
可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得在恒成立，则恒成立，
设，
则，所以，
所以在单调递减，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据题意，将问题转化为在区间恒成立，设，利用导数判断函数的单调性，再结合得出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为在内单调递增，
所以，
则，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构造，
则，
可知在上递减，
则，
则，
综上所述：.
故答案为：C.
【分析】由正弦函数、对数函数的性质易得，再构造，则利用导数判断其单调性，从而判断得出，进而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、由图可知样本的众数70，故A正确；
B、由，得，则得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，故B错误；
C、样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体，总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，故C正确；
D、该校学生成绩平均数约，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据频率分布直方图众数的定义即可判断A；补全频率分布直方图求指定组的频率即可判断B；由频率计算频数即可判断C；由频率分布直方图平均数的算法计算即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上，
由得，
所以在圆上，
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用复数与共轭复数的关系和复数加减运算法则，再结合复数求模公式和复数的几何意义，则在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断选项A和选项B；在复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，再去掉绝对值符号，从而进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断选项C和选项D，则找出结论正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】轨迹方程；棱台的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
由余弦定理可知，即，
解得，所以，即，同理可得，
又因为，平面，所以平面，故A正确；
B、如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，
因为，所以，为上靠近点的四等分点，
所以，故B错误；
C、由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，圆与相交于点，与相交于点，
过点作，垂足为，，垂足为，
为上靠近点的四等分点，则，，
又，由勾股定理得，
由于，所以，故，
故动点的轨迹长度是，故C错误；
D、如图①，分别在棱上取点，使得，则有，
平面，平面，平面，
同理平面，，平面
所以平面平面，
所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，
，所以，
所以截面多边形的面积为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用余弦定理求出，然后勾股定理证，，证明即可判断A；作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解判断B；求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长即可判断C；在棱上取点，利用平行作出平面的平行平面，求三角形的面积即可判断D.
12．【答案】14
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，
则种安排方法；
②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种安排方法，
则种安排方法.
故答案为：14.
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，再由分步加法计数原理得出不同的安排方案种数．
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆台的上下底面中心分别为，为其轴截面，如图所示：
由题意得，设，则，
在轴截面中过点作⊥于点，则，
故，由勾股定理，
轴截面的面积为，解得，
故圆台上底面半径，下底面半径，高，
故该圆台的体积为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用轴截面面积求得圆台得底面半径和高，再根据圆台体积公式计算即可.
14．【答案】2
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数对任意一个负数x，不等式恒成立，
即对恒成立，令，，则，令，
则令，解得：，当时，，则单调递减，当时，，故单调递增，又，，故存在，使得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，因为，，，故，
所以的最大值，故当时，，
又整数，所以a的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】考查考生的分析问题解决问题的能力，根据题意可将问题转化为：对恒成立，然后构造函数，，同求导确定其单调区间，找到其最大值，再结合a为整数即可求解.
15．【答案】（1）解：由，可得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，则；
（2）解：设，设，则，，
在中，，即，
在中，，即，
周长，
令，则
，
即周长最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，结合正弦的二倍角公式以及正弦定理化简计算即可得角B；
（2）利用正弦定理，再结合周长化简得出周长，结合函数的单调性求出最小值即可.
（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得，而，
故，
则；
（2）设，设，则，
在中，，即
在中，，即
周长.
令，则
.
即周长最小值为.
16．【答案】（1）解：由，
则，
所以，
则数列是以为公差的等差数列，
又因为，
所以，
则.
（2）解：①由，
则，
，
则
，
所以.
证明：②令，则，
则，
所以数列为单调递减数列，
又因为，
则当时，，
所以，
则当时，恒成立，
所以为定值.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先构造数列，再结合等差数列定义判断出数列是以为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）①利用已知条件和错位相减法，从而计算可得.
②先构造数列，再结合数列单调性可得当时，，从而可得为定值.
（1）由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
（2）①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
17．【答案】（1）解：因为的展开式的二项式系数和为256，
所以，
则
又因为展开式中二项式系数最大的项中间项，即为第5项，
所以.
（2）解：因为，
又因为，
所以展开式中含的项是第2项，
所以.
（3）解：因为，
当为整数时为有理项，
则，
所以k的取值集合.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【分析】（1）利用展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，从而得出二项式系数最大的项为中间项，进而求解得出展开式中二项式系数最大的项.
（2）利用二项式定理求出展开式的通项，令，从而求出的值，再代入到展开式的通项，从而求解得出展开式中含的项.
（3）当为整数时为有理项，从而得出r的值，进而得出k的取值集合.
（1）在展开式的二项式系数和为256，
即，
，
展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项，
所以，
（2），
由，所以展开式中含的项是第2项，
所以
（3），
当为整数时为有理项，即，
则k的取值集合
18．【答案】（1）解：①因为平面平面平面平面
又因为底面为直角梯形，其中
所以又因为面
所以面又因为面所以；
②由①知面取的中点设为连结如图所示：
则则面
则点到面的距离为，又因为在直角梯形中，，，
解得所以在等腰三角形中
三棱锥的体积
（2）解：取线段的中点，连接，如图所示：
因为，且，所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，则，
所以截面周长为.
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可；
②利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高；
（2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长即可.
（1）①因为平面平面平面平面
又因为底面为直角梯形，其中
所以又因为面
所以面又因为面所以
②由①知面取的中点设为连结则则面
则点到面的距离为
又因为在直角梯形中，，
解得所以在等腰三角形中
三棱锥的体积
（2）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.
19．【答案】（1）证明：由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为，
设，
由，
得，
则，
，
解得，
所以直线的斜率为定值.
（2）解：由（1）得，

与椭圆方程联立得，
则，
所以，
因为点到直线的距离，
则的面积为：，
令，
则，
令，解得，
则在上单调递增，
令，解得或，
则在和上单调递减，
又因为，
所以当时，取到最大值，
所以的面积得最大值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合代入法和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出椭圆的标准方程，设，再将直线与椭圆方程联立，再利用韦达定理求出，最后根据化简证出直线的斜率为定值.
（2）由（1）得，根据求出的取值范围，再利用弦长公式求出的值，再结合点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而根据三角形的面积公式列出面积的的表达式，再根据导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出面积的最大值.
（1）由题意，解得，
所以椭圆的标准方程为，
设，
由得，
，
，
解得，
所以直线的斜率为定值；
（2）由（1）得，
与椭圆方程联立得，
则，
，
点到直线的距离，
的面积，
令，
则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得或，即在和上单调递减，
又，
所以当时，取到最大值，
所以的面积得最大值为.
1 / 1广东省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·广东期末）已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为，，
所以的平均数为，
方差.
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的计算公式计算即可．
2．（2024高二下·广东期末）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
由得，即，
当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上单调递减，
所以，当时，.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式和正弦型函数的最小正周期公式，则得出的值，从而得出函数的解析式，再利用x的取值范围和不等式的基本性质，从而画出函数的图象，由图象判断出函数在上的单调性，从而得出函数在的最小值.
3．（2024高二下·广东期末）已知等差数列满足，且，则首项（　　）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，且，
所以，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式以及等差数列的性质，从而得出等差数列的首项的值.
4．（2024高二下·广东期末）5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（　　）
A．24 B．12 C．48 D．36
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲乙捆绑，有种情况，
将甲和乙看作一个整体，和除丙外的两个人进行全排列，有种情况，
然后将丙进行插空，两边的空不插，共有2空，有种情况，
综上所述，不同的安排方法数有.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和捆绑法、插空法，再结合排列数公式和分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方法种数.
5．（2024高二下·广东期末）已知直线与椭圆相切，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：依题意，
联立，得，
化简得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
化简整理得，
所以.
故答案为：C.
【分析】联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆相切得到，从而得出k的值.
6．（2024高二下·广东期末）四棱锥至多有几个面是直角三角形？（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：在正方体中，
取四棱锥，其四个侧面均为直角三角形，
又因为四棱锥仅有四个三角形面，
所以四棱锥至多有四个面是直角三角形.
故答案为：C.
【分析】在正方体中考虑一个四棱锥，从而得到四个面均为直角三角形，进而得出四棱锥至多有四个面是直角三角形.
7．（2024高二下·广东期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数，
可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得在恒成立，则恒成立，
设，
则，所以，
所以在单调递减，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据题意，将问题转化为在区间恒成立，设，利用导数判断函数的单调性，再结合得出实数a的取值范围.
8．（2024高二下·广东期末）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为在内单调递增，
所以，
则，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构造，
则，
可知在上递减，
则，
则，
综上所述：.
故答案为：C.
【分析】由正弦函数、对数函数的性质易得，再构造，则利用导数判断其单调性，从而判断得出，进而比较出a，b，c的大小.
9．（2024高二下·广东期末）某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（　　）
A．样本的众数为70
B．样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03
C．用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D．用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A、由图可知样本的众数70，故A正确；
B、由，得，则得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，故B错误；
C、样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体，总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，故C正确；
D、该校学生成绩平均数约，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据频率分布直方图众数的定义即可判断A；补全频率分布直方图求指定组的频率即可判断B；由频率计算频数即可判断C；由频率分布直方图平均数的算法计算即可判断D.
10．（2024高二下·广东期末）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小值为
B．的最小值为4
C．当时，则
D．当时，则
【答案】A,D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上，
由得，
所以在圆上，
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用复数与共轭复数的关系和复数加减运算法则，再结合复数求模公式和复数的几何意义，则在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断选项A和选项B；在复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，再去掉绝对值符号，从而进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断选项C和选项D，则找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·广东期末）如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．该正四棱台的高为
C．若.，则动点的轨迹长度是
D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
【答案】A,D
【知识点】轨迹方程；棱台的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
由余弦定理可知，即，
解得，所以，即，同理可得，
又因为，平面，所以平面，故A正确；
B、如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，
因为，所以，为上靠近点的四等分点，
所以，故B错误；
C、由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，圆与相交于点，与相交于点，
过点作，垂足为，，垂足为，
为上靠近点的四等分点，则，，
又，由勾股定理得，
由于，所以，故，
故动点的轨迹长度是，故C错误；
D、如图①，分别在棱上取点，使得，则有，
平面，平面，平面，
同理平面，，平面
所以平面平面，
所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，
，所以，
所以截面多边形的面积为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用余弦定理求出，然后勾股定理证，，证明即可判断A；作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解判断B；求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长即可判断C；在棱上取点，利用平行作出平面的平行平面，求三角形的面积即可判断D.
12．（2024高二下·广东期末）2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有　 　种．
【答案】14
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，
则种安排方法；
②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种安排方法，
则种安排方法.
故答案为：14.
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，再由分步加法计数原理得出不同的安排方案种数．
13．（2024高二下·广东期末）已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆台的上下底面中心分别为，为其轴截面，如图所示：
由题意得，设，则，
在轴截面中过点作⊥于点，则，
故，由勾股定理，
轴截面的面积为，解得，
故圆台上底面半径，下底面半径，高，
故该圆台的体积为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用轴截面面积求得圆台得底面半径和高，再根据圆台体积公式计算即可.
14．（2024高二下·广东期末）已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数对任意一个负数x，不等式恒成立，
即对恒成立，令，，则，令，
则令，解得：，当时，，则单调递减，当时，，故单调递增，又，，故存在，使得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，因为，，，故，
所以的最大值，故当时，，
又整数，所以a的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】考查考生的分析问题解决问题的能力，根据题意可将问题转化为：对恒成立，然后构造函数，，同求导确定其单调区间，找到其最大值，再结合a为整数即可求解.
15．（2024高二下·广东期末）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）点是上的一点，，且，求周长的最小值.
【答案】（1）解：由，可得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，则；
（2）解：设，设，则，，
在中，，即，
在中，，即，
周长，
令，则
，
即周长最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，结合正弦的二倍角公式以及正弦定理化简计算即可得角B；
（2）利用正弦定理，再结合周长化简得出周长，结合函数的单调性求出最小值即可.
（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得，而，
故，
则；
（2）设，设，则，
在中，，即
在中，，即
周长.
令，则
.
即周长最小值为.
16．（2024高二下·广东期末）已知数列满足且.
（1）求的通项公式.
（2）设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
【答案】（1）解：由，
则，
所以，
则数列是以为公差的等差数列，
又因为，
所以，
则.
（2）解：①由，
则，
，
则
，
所以.
证明：②令，则，
则，
所以数列为单调递减数列，
又因为，
则当时，，
所以，
则当时，恒成立，
所以为定值.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先构造数列，再结合等差数列定义判断出数列是以为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）①利用已知条件和错位相减法，从而计算可得.
②先构造数列，再结合数列单调性可得当时，，从而可得为定值.
（1）由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
（2）①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
17．（2024高二下·广东期末）已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项；
（3）若第k项是有理项，求k的取值集合．
【答案】（1）解：因为的展开式的二项式系数和为256，
所以，
则
又因为展开式中二项式系数最大的项中间项，即为第5项，
所以.
（2）解：因为，
又因为，
所以展开式中含的项是第2项，
所以.
（3）解：因为，
当为整数时为有理项，
则，
所以k的取值集合.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【分析】（1）利用展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，从而得出二项式系数最大的项为中间项，进而求解得出展开式中二项式系数最大的项.
（2）利用二项式定理求出展开式的通项，令，从而求出的值，再代入到展开式的通项，从而求解得出展开式中含的项.
（3）当为整数时为有理项，从而得出r的值，进而得出k的取值集合.
（1）在展开式的二项式系数和为256，
即，
，
展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项，
所以，
（2），
由，所以展开式中含的项是第2项，
所以
（3），
当为整数时为有理项，即，
则k的取值集合
18．（2024高二下·广东期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.
（1）若平面平面，
①求证：；
②求三棱锥的体积；
（2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.
【答案】（1）解：①因为平面平面平面平面
又因为底面为直角梯形，其中
所以又因为面
所以面又因为面所以；
②由①知面取的中点设为连结如图所示：
则则面
则点到面的距离为，又因为在直角梯形中，，，
解得所以在等腰三角形中
三棱锥的体积
（2）解：取线段的中点，连接，如图所示：
因为，且，所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，则，
所以截面周长为.
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可；
②利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高；
（2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长即可.
（1）①因为平面平面平面平面
又因为底面为直角梯形，其中
所以又因为面
所以面又因为面所以
②由①知面取的中点设为连结则则面
则点到面的距离为
又因为在直角梯形中，，
解得所以在等腰三角形中
三棱锥的体积
（2）取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.
19．（2024高二下·广东期末）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）证明：由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为，
设，
由，
得，
则，
，
解得，
所以直线的斜率为定值.
（2）解：由（1）得，

与椭圆方程联立得，
则，
所以，
因为点到直线的距离，
则的面积为：，
令，
则，
令，解得，
则在上单调递增，
令，解得或，
则在和上单调递减，
又因为，
所以当时，取到最大值，
所以的面积得最大值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合代入法和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出椭圆的标准方程，设，再将直线与椭圆方程联立，再利用韦达定理求出，最后根据化简证出直线的斜率为定值.
（2）由（1）得，根据求出的取值范围，再利用弦长公式求出的值，再结合点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而根据三角形的面积公式列出面积的的表达式，再根据导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出面积的最大值.
（1）由题意，解得，
所以椭圆的标准方程为，
设，
由得，
，
，
解得，
所以直线的斜率为定值；
（2）由（1）得，
与椭圆方程联立得，
则，
，
点到直线的距离，
的面积，
令，
则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得或，即在和上单调递减，
又，
所以当时，取到最大值，
所以的面积得最大值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑