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2025年湖南省娄底市中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数，，，中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．将关于的分式方程去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
6．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同
B．乙同学第三轮投壶命中率最高
C．甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多
D．甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定
8．如图，在正六边形中，作正五边形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点，与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
10．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为 ．
13．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为 ．
14．用圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为 ．
15．如图，在等边中，于点，延长至点，使得，连接，若．则的长为 ．
16．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程，且有两个相等的实数根，则 ．
17．如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，是两根等长且紧绷的绳子，所在的直线为地面，已知，，当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为 （结果精确到，参考数据：，）．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；，依次进行下去，则点的坐标为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在中，尺规作图步骤如下：①作的平分线，交于点；②作的垂直平分线，分别交，于点，．
(1)步骤①中作角平分线的作图依据是_____；
A． B． C． D．
(2)请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）；
(3)连接，，求证：四边形为菱形．
22．湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如表所示：
类别价格 款湘绣 款湘绣
进价（元/件） 800 1400
售价（元/件） 980 1680
(1)该商场第一次用24400元购进了两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
(2)该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进款湘绣的数量不少于款湘绣的，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
23．湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果，校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
七年级 4 7 2 7
八年级 3 4 7
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：请结合以上信息回答下列问题：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 91 97
八年级 91 91
(1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)填空：_____，_____，_____；
(3)样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
(4)若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
24．如图，四边形内接于，对角线为的直径，对角线是的平分线，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
25．综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中，，，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到．
操作发现：
（1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转，当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长．
26．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
《2025年湖南省娄底市中考三模数学试题》参考答案
1．D
解：∵，
∴，
∵，
∴最大的数是，
故选：D．
2．B
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．A
解：A．，所以A选项的计算正确；
B．，所以B选项的计算错误；
C．，所以C选项的计算错误；
D．不是同类项，不能合并，所以D选项的计算错误．
故选：A．
4．C
解，如图，
由题意知：，
∴，
∵，
∴
故选：C．
5．B
解：原分式方程两边同乘，
得．
故选：B．
6．A
解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，，，
∴，
故选：A．
7．C
解：甲同学第二轮和第四轮投壶都投中了4支，命中数相同，A正确，不符合题意；
乙同学第三轮投壶投中7支，投中次数最多，命中率最高，B正确，不符合题意；
甲同学五轮投壶命中总数为．乙同学五轮投壶命中总数为，甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学少，C错误，符合题意；
观察折线统计图可知，甲同学五轮投壶命中的次数波动比乙同学五轮投壶命中的次数波动小，则甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定，D正确，不符合题意．
故选：C．
8．B
解：正六边形内角和为，
正六边形每个内角为，
正五边形内角和为，
正五边形每个内角为，
，
，
，
，
故选：B．
9．C
解：直线的表达式为，由平移的性质知，直线的表达式为，
当时，，
，
由直线与直线的表达式知，两条直线和轴所夹锐角均为，
当时，，
设，则，
解得或（舍去），
．
故选：C．
10．D
解：∵在矩形中，，
∴，，，，
由对折可得：，，，
∴，
∴，
如图，记与的交点为，延长交于，
∴，
由对折可得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
同理：，
∴，即，
∴，
∴，
∴.
故选：D
11．x≥
解：∵2x﹣3≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
12．
解：将1179万用科学记数法表示为．
故答案为：．
13．
解：“春江潮水连海平，海上明月共潮生”中共有个字，
其中“海”字有个，
随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为．
故答案为： ．
14．
解：∵底面圆半径为1，
∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为，
设扇形的半径是r，则，
，
∴扇形的面积为，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
15．
解：是等边三角形，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．2
解：∵方程是“湘”方程，
∴，即，①
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，②
由①②可得：，
∴；
故答案为2．
17．0.4
解：过点C作于点M，延长交于点N，如图所示：
由题意可知：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为0.4．
18．
解：，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
；
同理可得：，，
依此类推，，
当时，，
由坐标系可得，点落在轴的正半轴，
点的坐标为．
故答案为：．
19．5
解：原式
．
20．
解：原式
．
当时，原式．
21．(1)D
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图，
由作图可知：，，
又∵，
∴，
∴，
即是的平分线．
∴在所作图的步骤中①得到角平分线的依据是；
故答案为：D；
（2）解：如图，直线即为所求，
（3）证明：如图，
平分，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
22．(1)购进款湘绣6件，款湘绣14件
(2)购进款湘绣12件，款湘绣18件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是7200元
（1）解：设购进款湘绣件，则购进款湘绣件，
由题意得，，
解得，
，
答：购进款湘绣6件，款湘绣14件；
（2）解：设购进款湘绣件，则购进款湘绣件，
购进款湘绣数量不少于款湘绣数量的，
，解得，
设利润为元，由题意得，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为（元），
此时，
答：购进款湘绣12件，款湘绣18件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是7200元．
23．(1)抽样调查
(2)6，89，95
(3)七年级学生甲在本年级的排名更靠前，见解析
(4)200名
（1）解：在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：根据题意可得八年级中这一组有6人；
七年级中按照从小到大的顺序排列后第10个和第11个的数据为，
所以中位数；
八年级的数据中95出现次数最多，
所以众数，
故答案为：6，89，95；
（3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下：
八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，
分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数，
七年级学生甲在本年级的排名更靠前；
（4）解：（名）．
答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200名．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：如解图，连接，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如解图，过点作于点，
，
，
是的直径，
，
，
，
由（1）得，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，
，
．
25．（1），见解析；（2）四边形为平行四边形，见解析；（3）
解：（1）理由如下：如解图，
是的中点，根据勾股定理，得，
，
由平移的性质，得，
，
为的中点，
又为直角三角形，
．
（2）证明：四边形为平行四边形，
证明如下：
由旋转的性质，得，
在中，
是的中点，
，
．
由题图①得，
，
根据旋转的性质，可得，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，
，
．
，
．
，
，
，，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
，
．
由（1）知，，
则，
，
，
，
在中，由勾股定理得，．
26．(1)
(2)，
(3)或或
（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中标，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．

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