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甘肃省兰州市西北师大附中2024届高三第五次诊断考试（三模）数学试题
1．（2024·安宁模拟）在复平面内，，其中是虚数单位，是的共轭复数，则复数的对应点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，
则共轭复数为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，故复数对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数的四则运算和共轭复数的定义以及复数相等的判断方法，从而得出a，b的值，则得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数z对应的点的坐标，从而得出点所在的象限.
2．（2024·安宁模拟）已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线平面，直线平面，
当时，可得，则充分性满足；
当时，不一定平行，有可能相交还有可能异面，则必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性和必要性，从而找出正确的选项.
3．（2024·安宁模拟）已知两个向量满足，，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则，
解得或（舍去）.
故答案为：D.
【分析】将两边平方，再结合数量积的运算法则得出的值.
4．（2024·安宁模拟）的内角所对的边分别为，则（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故，
由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，，
故，
由勾股定理可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得，再结合三角恒等变换、正弦定理可得，由a，b的值和三角形中角B的取值范围，从而得出角A和角B的值，再由三角形内角和定理得出角C的值，则根据勾股定理得出c的值.
5．（2024·安宁模拟）已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】设，
由可得，
由可知，或，，
由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，，
综上所述：，
因为同一图象对应的解析式是一样的，
所以此时不妨设，则，
因为，
则，
解得，
所以，
．
故答案为：C.
【分析】设，依题意可得，结合可得，从而得到的值，再根据可得，则由代入法得出的值．
6．（2024·安宁模拟）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点的坐标为，
由题意可知：直线的斜率不为，
但可以不存在，且直线与抛物线必相交，
可设直线的方程为，，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，即，
设的中点为，
则，，
可知线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
则，
可得，
联立方程，解得.
故答案为：B.
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求出弦长的表达式，再求出线段的垂直平分线，由已知条件列方程求出的值.
7．（2024·安宁模拟）如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，
下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系，
设球形物品的半径为，
则正方体的棱长为，表面积；
设正四面体的棱长为，
则正四面体的表面积为，
如图正四面体，
由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，
如图可得，底面等边三角形的高，
外接圆半径，
正四面体的高，
则，
所以，
又因为，所以，
所以正四面体的表面积，
设正八面体的棱长为，如图，
在正八面体中连接，，，
可得，，互相垂直平分，四边形为正方形，，
在中，，
则该正八面体的体积为，
该八面体的表面积为，
因为，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可得包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较找出的大小关系.
8．（2024·安宁模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以，，即，
设，，
当时，，则为增函数；
当时，，则为减函数，
所以，，
则，所以，
设，
则，
所以为增函数，则，
所以，即.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件构造函数，再由导数判断函数的单调性，从而代入数值比较a，b，c的大小.
9．（2024·安宁模拟）若集合，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：AC.
【分析】根据和可得、，从而可得，进而找出正确的选项.
10．（2024·安宁模拟）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数，
令，，则，
则函数在上单调递增，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
B、因为，所以，则，所以函数值域为，故B正确；
CD、，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据复合函数的单调性即可判断A；根据函数变形结合指数函数的值域，求解函数的值域即可判断B；根据对称定义的关系即可判断CD.
11．（2024·安宁模拟）已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线交双曲线左 右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，如图所示：
如果为直角，设，则，
因为，，
所以，
由，
则，得，
在中，，
所以，
则，化简得，
所以；
如果为直角，设，
则，，，，
因为，
所以，故，
在中，由余弦定理可知，
整理得，则，所以，故B正确；
如果为直角，则，，
则，
又因为，
所以，，，
在等腰直角中，，
则，化简得，
所以，故C正确.
故答案为：BC.
【分析】利用等边三角形的性质结合双曲线的定义，从而建立的等量关系式，进而求解得出a，c的值，再结合双曲线的离心率公式找出正确的选项.
12．（2024·安宁模拟）已知直线与圆相切，则　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线的一般方程为，
圆的圆心的坐标为，半径，
又因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】利用直线与圆相切位置关系判断方法，从而得出圆心到直线的距离等于半径，进而列方程得出实数的值.
13．（2024·安宁模拟）春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为　 　.
【答案】
【知识点】组合及组合数公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知条件和组合数公式以及古典概率公式，从而得出在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率.
14．（2024·安宁模拟）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时，　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：取得最小值，
即在区间上的最大值取得最小值，
因为的对称轴，且，
所以的最大值为或，
当时，即，
所以 ，图象如图所示：
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，的最小值即为函数在区间上的最大值取得最小值，先用分段函数表示在区间的最大值，根据作出函数图象，数形结合求其最小值即可.
15．（2024·安宁模拟）如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：解法1：设，
则为中点，，
连接，延长交延长线于，
由，得，
则为中点，
所以，平面平面，
则平面.
解法2：取中点，取中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面，
故平面.
（2）解：解法1：因为，
所以，故四边形为正方形，
故⊥，且为中点，
又因为，，
所以，故⊥，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
又因为，，
且，，
，
故锐二面角的余弦值为.
解法2：设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
，
所以锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
解法1：作出辅助线得到线线平行，从而证出 平面.
解法2：利用已知条件建立空间直角坐标系，从而写出点的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个的法向量，再由证出平面
（2）利用两种方法求解.
解法1：作出辅助线得到，即为二面角的平面角，再由中点的性质和勾股定理求出各边长，再根据余弦定理求出锐二面角的余弦值.
解法2：利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示求出平面的一个法向量，再由数量积求向量夹角公式得出锐二面角的余弦值.
（1）解法1：设，则为中点，
，连接，
延长交延长线于，
由得，
为中点，
，
平面平面，
平面，
解法2：取中点，取中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
平面，
故平面.
（2）解法1：因为，所以，故四边形为正方形，
故⊥，且为中点，
又，，
故，故⊥，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
又，，
且，，
，
故锐二面角的余弦值为.
解法2：设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
，
所以锐二面角的余弦值为.
16．（2024·安宁模拟）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号 数学 物理
1 144 95
2 130 90
3 124 79
4 120 85
5 110 69
6 107 82
7 103 80
8 102 62
9 100 67
10 98 75
11 98 68
12 95 77
13 94 59
14 92 65
15 90 57
16 88 58
17 85 70
18 85 55
19 80 52
20 75 54
（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
（ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩 130 110 100 85 75
物理成绩 90 69 67 70 54
如图所示：以横轴表示数学成绩 纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.
（i）求样本相关系数；
（ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数.
（2）经验回归方程；.
（3），其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：（i）根据题意可得：
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 3 1 4
不优秀 2 14 16
合计 5 15 20
（ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联
则
，
依据的独立性检验，推断不成立，
即认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）解：（i）由题意可得，
所以
（ii）由题意可得：
，
所以，
所以，经验回归方程为，
当时，，
所以物理成绩约为81分.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）（i）由表1可直接填写列联表.
（ii）根据列联表计算的值，再结合临界值表比较认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）（i）根据参考公式计算出样本相关系数.
（ii）根据参考公式得出经验回归方程，并将代入预测出该同学的物理成绩.
（1）（i）
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 3 1 4
不优秀 2 14 16
合计 5 15 20
（ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.
依据的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）（i）由题意，
所以
（ii）由题意
，
所以，
所以经验回归方程为，
当时，，
所以物理成绩约为81分.
17．（2024·安宁模拟）已知，函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
单调递减；
单调递增，
则
（2）解：，
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
则，
令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再结合导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的单调区间.
（2）先求导得出，令再求导得出，再利用导数分类讨论判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，，
单调递减；单调递增；
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
18．（2024·安宁模拟）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）解：依题意，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设直线方程为，
由，得，
因为，
所以
，
解得.
（3）解：由（2）得，
则，
所以，
则的面积，
因为，
则，
令，解得，即在上单调递增；
令，解得或，
即在和上单调递减，
所以当时，取到最大值，
则的面积
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和代入法，则用待定系数法得出椭圆C的标准方程.
（2）设出直线，并将直线与椭圆方程联立，再用韦达定理表示出， 化简证出直线的斜率为定值.
（3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，再将其转化为函数，利用导数判断函数f(m)的单调性，从而求出函数f(m)的最大值，进而得出面积的最大值.
（1）依题意，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线方程为，
由得，
，
，
解得.
（3）由（2）得，
，
的面积，
，
，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得或，即在和上单调递减，
所以当时，取到最大值，
的面积
19．（2024·安宁模拟）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
（3）对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
【答案】（1）解：因为为的二阶差分数列，
所以，
将，代入得，
整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，则.
（2）解：因为为数列的一阶差分数列，
所以，
故成立，
即.①
当时，①式成立；
当时，
因为，且，
所以①成立，
故对都有成立.
（3）证明：因为，又因为，
所以，
故，
即，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将可得，再构造等差数列结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，再根据二项式定理证出对都有成立.
（3）利用已知条件作差可得，从而得出，再根据等比数列的求和公式证出不等式成立.
（1）因为为的二阶差分数列，所以，
将，代入得，整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，即.
（2）因为为数列的一阶差分数列，所以，
故成立，即为.①
当时，①式成立；
当时，因为，且，
所以①成立，故对都有成立.
（3），因为，所以，
故，即，
所以.
1 / 1甘肃省兰州市西北师大附中2024届高三第五次诊断考试（三模）数学试题
1．（2024·安宁模拟）在复平面内，，其中是虚数单位，是的共轭复数，则复数的对应点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·安宁模拟）已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·安宁模拟）已知两个向量满足，，则（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（2024·安宁模拟）的内角所对的边分别为，则（　　）
A．2 B． C． D．1
5．（2024·安宁模拟）已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（　　）
A．0 B． C． D．
6．（2024·安宁模拟）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2024·安宁模拟）如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·安宁模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·安宁模拟）若集合，则一定有（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·安宁模拟）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
11．（2024·安宁模拟）已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线交双曲线左 右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024·安宁模拟）已知直线与圆相切，则　 　.
13．（2024·安宁模拟）春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为　 　.
14．（2024·安宁模拟）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时，　 　.
15．（2024·安宁模拟）如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，.
（1）证明：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
16．（2024·安宁模拟）某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号 数学 物理
1 144 95
2 130 90
3 124 79
4 120 85
5 110 69
6 107 82
7 103 80
8 102 62
9 100 67
10 98 75
11 98 68
12 95 77
13 94 59
14 92 65
15 90 57
16 88 58
17 85 70
18 85 55
19 80 52
20 75 54
（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
（ii）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩 130 110 100 85 75
物理成绩 90 69 67 70 54
如图所示：以横轴表示数学成绩 纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.
（i）求样本相关系数；
（ii）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数.
（2）经验回归方程；.
（3），其中.
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2024·安宁模拟）已知，函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
18．（2024·安宁模拟）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值.
19．（2024·安宁模拟）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
（3）对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设，
则共轭复数为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，故复数对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数的四则运算和共轭复数的定义以及复数相等的判断方法，从而得出a，b的值，则得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数z对应的点的坐标，从而得出点所在的象限.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线平面，直线平面，
当时，可得，则充分性满足；
当时，不一定平行，有可能相交还有可能异面，则必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性和必要性，从而找出正确的选项.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则，
解得或（舍去）.
故答案为：D.
【分析】将两边平方，再结合数量积的运算法则得出的值.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故，
由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以，
又因为，
所以，，
故，
由勾股定理可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得，再结合三角恒等变换、正弦定理可得，由a，b的值和三角形中角B的取值范围，从而得出角A和角B的值，再由三角形内角和定理得出角C的值，则根据勾股定理得出c的值.
5．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】设，
由可得，
由可知，或，，
由图可知，
当时，，即，；
当时，，即，，
综上所述：，
因为同一图象对应的解析式是一样的，
所以此时不妨设，则，
因为，
则，
解得，
所以，
．
故答案为：C.
【分析】设，依题意可得，结合可得，从而得到的值，再根据可得，则由代入法得出的值．
6．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点的坐标为，
由题意可知：直线的斜率不为，
但可以不存在，且直线与抛物线必相交，
可设直线的方程为，，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，即，
设的中点为，
则，，
可知线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
则，
可得，
联立方程，解得.
故答案为：B.
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求出弦长的表达式，再求出线段的垂直平分线，由已知条件列方程求出的值.
7．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，
下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系，
设球形物品的半径为，
则正方体的棱长为，表面积；
设正四面体的棱长为，
则正四面体的表面积为，
如图正四面体，
由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，
如图可得，底面等边三角形的高，
外接圆半径，
正四面体的高，
则，
所以，
又因为，所以，
所以正四面体的表面积，
设正八面体的棱长为，如图，
在正八面体中连接，，，
可得，，互相垂直平分，四边形为正方形，，
在中，，
则该正八面体的体积为，
该八面体的表面积为，
因为，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可得包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较找出的大小关系.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以，，即，
设，，
当时，，则为增函数；
当时，，则为减函数，
所以，，
则，所以，
设，
则，
所以为增函数，则，
所以，即.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件构造函数，再由导数判断函数的单调性，从而代入数值比较a，b，c的大小.
9．【答案】A,C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：AC.
【分析】根据和可得、，从而可得，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数，
令，，则，
则函数在上单调递增，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
B、因为，所以，则，所以函数值域为，故B正确；
CD、，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据复合函数的单调性即可判断A；根据函数变形结合指数函数的值域，求解函数的值域即可判断B；根据对称定义的关系即可判断CD.
11．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，如图所示：
如果为直角，设，则，
因为，，
所以，
由，
则，得，
在中，，
所以，
则，化简得，
所以；
如果为直角，设，
则，，，，
因为，
所以，故，
在中，由余弦定理可知，
整理得，则，所以，故B正确；
如果为直角，则，，
则，
又因为，
所以，，，
在等腰直角中，，
则，化简得，
所以，故C正确.
故答案为：BC.
【分析】利用等边三角形的性质结合双曲线的定义，从而建立的等量关系式，进而求解得出a，c的值，再结合双曲线的离心率公式找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线的一般方程为，
圆的圆心的坐标为，半径，
又因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】利用直线与圆相切位置关系判断方法，从而得出圆心到直线的距离等于半径，进而列方程得出实数的值.
13．【答案】
【知识点】组合及组合数公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知条件和组合数公式以及古典概率公式，从而得出在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：取得最小值，
即在区间上的最大值取得最小值，
因为的对称轴，且，
所以的最大值为或，
当时，即，
所以 ，图象如图所示：
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】根据题意，的最小值即为函数在区间上的最大值取得最小值，先用分段函数表示在区间的最大值，根据作出函数图象，数形结合求其最小值即可.
15．【答案】（1）证明：解法1：设，
则为中点，，
连接，延长交延长线于，
由，得，
则为中点，
所以，平面平面，
则平面.
解法2：取中点，取中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面，
故平面.
（2）解：解法1：因为，
所以，故四边形为正方形，
故⊥，且为中点，
又因为，，
所以，故⊥，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
又因为，，
且，，
，
故锐二面角的余弦值为.
解法2：设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
，
所以锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
解法1：作出辅助线得到线线平行，从而证出 平面.
解法2：利用已知条件建立空间直角坐标系，从而写出点的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个的法向量，再由证出平面
（2）利用两种方法求解.
解法1：作出辅助线得到，即为二面角的平面角，再由中点的性质和勾股定理求出各边长，再根据余弦定理求出锐二面角的余弦值.
解法2：利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示求出平面的一个法向量，再由数量积求向量夹角公式得出锐二面角的余弦值.
（1）解法1：设，则为中点，
，连接，
延长交延长线于，
由得，
为中点，
，
平面平面，
平面，
解法2：取中点，取中点，连接，
因为为正三棱柱，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
平面，
故平面.
（2）解法1：因为，所以，故四边形为正方形，
故⊥，且为中点，
又，，
故，故⊥，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
又，，
且，，
，
故锐二面角的余弦值为.
解法2：设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
，
所以锐二面角的余弦值为.
16．【答案】（1）解：（i）根据题意可得：
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 3 1 4
不优秀 2 14 16
合计 5 15 20
（ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联
则
，
依据的独立性检验，推断不成立，
即认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）解：（i）由题意可得，
所以
（ii）由题意可得：
，
所以，
所以，经验回归方程为，
当时，，
所以物理成绩约为81分.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）（i）由表1可直接填写列联表.
（ii）根据列联表计算的值，再结合临界值表比较认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）（i）根据参考公式计算出样本相关系数.
（ii）根据参考公式得出经验回归方程，并将代入预测出该同学的物理成绩.
（1）（i）
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 3 1 4
不优秀 2 14 16
合计 5 15 20
（ii）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.
依据的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联.
（2）（i）由题意，
所以
（ii）由题意
，
所以，
所以经验回归方程为，
当时，，
所以物理成绩约为81分.
17．【答案】（1）解：当时，，
单调递减；
单调递增，
则
（2）解：，
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
则，
令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再结合导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的单调区间.
（2）先求导得出，令再求导得出，再利用导数分类讨论判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，，
单调递减；单调递增；
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
18．【答案】（1）解：依题意，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设直线方程为，
由，得，
因为，
所以
，
解得.
（3）解：由（2）得，
则，
所以，
则的面积，
因为，
则，
令，解得，即在上单调递增；
令，解得或，
即在和上单调递减，
所以当时，取到最大值，
则的面积
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和代入法，则用待定系数法得出椭圆C的标准方程.
（2）设出直线，并将直线与椭圆方程联立，再用韦达定理表示出， 化简证出直线的斜率为定值.
（3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，再将其转化为函数，利用导数判断函数f(m)的单调性，从而求出函数f(m)的最大值，进而得出面积的最大值.
（1）依题意，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线方程为，
由得，
，
，
解得.
（3）由（2）得，
，
的面积，
，
，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得或，即在和上单调递减，
所以当时，取到最大值，
的面积
19．【答案】（1）解：因为为的二阶差分数列，
所以，
将，代入得，
整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，则.
（2）解：因为为数列的一阶差分数列，
所以，
故成立，
即.①
当时，①式成立；
当时，
因为，且，
所以①成立，
故对都有成立.
（3）证明：因为，又因为，
所以，
故，
即，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将可得，再构造等差数列结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，再根据二项式定理证出对都有成立.
（3）利用已知条件作差可得，从而得出，再根据等比数列的求和公式证出不等式成立.
（1）因为为的二阶差分数列，所以，
将，代入得，整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，即.
（2）因为为数列的一阶差分数列，所以，
故成立，即为.①
当时，①式成立；
当时，因为，且，
所以①成立，故对都有成立.
（3），因为，所以，
故，即，
所以.
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