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广西百色市2023-2024学年高二下学期期末教学质量调研测试数学试题
1．（2024高二下·百色期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关，
且图①，②比③，④的线性相关性更强，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和散点图以及相关系数的知识，从而比较出，，，的大小.
2．（2024高二下·百色期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（　　）条不同路径.
A．4 B．5 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：走上面需要两步，每步都有两种路径，有种方法，
走下面需要两步，第一步有三种路径，第二步有两种路径，有种方法，
共计有4+6=10种方法.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和分类加法计数原理、分步乘法计数原理，从而得出不同路径共有的条数.
3．（2024高二下·百色期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第时，原油的温度（单位：）为，若，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】极限及其运算；导数的概念；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由导数的定义可知，
在第2h时，原油温度的瞬时变化率为在处的导数，
因为
所以，
则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的定义，从而求出的值，进而得出在第2h时，原油温度的瞬时变化率.
4．（2024高二下·百色期末）下列说法中正确的有（　　）
①线性回归方程至少经过一个样本点；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强；
③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好；
④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为线性回归方程可以不经过任何一个样本点，故①错，
因为值越大则两个变量的相关程度越强，故②错，
因为决定系数越大，模型拟合效果越好，故③对，
因为残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，
则回归方程的预报精确度越高，故④对.
故答案为：B.
【分析】根据线性回归方程和相关系数以及残差分析，从而逐项判断找出说法正确的选项.
5．（2024高二下·百色期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（　　）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，所以，
因为二项式的展开式的通项公式为：，
令，可得，
所以展开式中的常数项为第项.
故答案为：D.
【分析】由已知条件结合二项式系数的性质求出的值，再结合二项展开式的通项公式和常数项的定义，从而得出展开式中的常数项.
6．（2024高二下·百色期末）设是的导函数，已知，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
所以，.
故答案为：D.
【分析】根据导数的运算法则求出导函数，再进行赋值求出的值，从而得出函数的解析式，再代入得出函数的值.
7．（2024高二下·百色期末）在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（　　）
A．600 B．800 C．1200 D．1400
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：依题意可知，，
又因为，
所以，
所以数学成绩超过120分的人数约为.
故答案为：B.
【分析】由随机变量的密度函数得出的值，再由已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性得出的值，则根据频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出数学成绩超过120分的人数.
8．（2024高二下·百色期末）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，
此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，
此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；
故答案为：拔测试的安排方案有种.
故答案为：B.
【分析】根据排列数的应用，利用捆绑法求出前庭功能、失重飞行两项测试相邻的所有排法，再求出前庭功能和失重飞行相邻且超重耐力和失重飞行也相邻的所有排法，最后利用排除法即可求解出答案.
9．（2024高二下·百色期末）某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高村村民.2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　）
年份 2017 2019
年份代号x 4 5 7 8
人均年纯收入y 2.1 m n 5.9
A．
B．年村人均年纯收入约为7万元
C．从年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D．年的人均年纯收入残差值为
【答案】A,C
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意，易得，
代入直线中得到，
所以，
所以，故A正确，
因为2025年的代号为13，
所以，故B错误，
因为每增加1，约增加1，
得到每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确，
当时，，
又因为残差值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用平均数公式判断出选项A；利用回归直线方程代入法，则判断出选项B和选项C；利用残差的求法判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·百色期末）设，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．展开式的偶数项系数和为64
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：对于A，
，
出现的只能是，
则，所以，故A正确；
对于B，当时，，则，
当时，
可以化为：
①，
又②，
由①-②得，解得，故B错误；
对于C，因为含有的项要从第三个式子才有，
所以，故C正确；
对于D，，
展开式的偶数项系数和即为偶数项二项式系数和，
即为二项式系数和的一半，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和二项式定理求展开式通项的方法，则求出的值，则判断出选项A；通过赋值法结合已知条件求出的值，则判断出选项B；由选项A结合代入法，则判断出选项C；利用已知条件结合二项式系数的性质，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·百色期末）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（　　）
A．在上单调递增 B．不等式的解集为
C．若恒成立，则 D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以.
令，
则，
所以（c为常数），
所以.
因为，所以，
则.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B，当时，；当时，；当时，，
因为，
根据单调性知：，故B正确；
对于C，若，则.
当时，恒成立；
当时，等价于，则，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，
则，
因为在恒小于0，在上单调递增，且，
所以，且，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】构造函数，根据已知条件计算得出，利用导数判断函数f(x)的单调性，则可判断出选项A和选项B；分离参数，结合的单调性与最值，则可判断选项C；由题意得出，再结合函数的单调性得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·百色期末）已知，则的值为　 　.
【答案】0
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：，
或，
解得或，为整数，故，
.
故答案为：0.
【分析】根据已知条件和组合数的性质以及排列数公式，从而得出的值.
13．（2024高二下·百色期末）已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
因为切线方程过点，
所以，
化简得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线C在点处的切线方程.
14．（2024高二下·百色期末）阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为　 　.
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件，
则，，
所以，
，
，
则从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和条件概率公式以及全概率公式，从而得出从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率.
15．（2024高二下·百色期末）新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．
（1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；
　 选择全文 不选择全文 总计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
总计 　 　 　
（2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参公式：，其中
【答案】（1）解：依题意可知：
选择全文 不选择全文 总计
男生 10 15 25
女生 20 5 25
总计 30 20 50
则，
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.
（2）解：用样本的频率视作概率，
则高一年级女生选择全文的概率为，
抽到两人中恰好一人选择全文的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，再利用公式求出的值，并与临界值对比分析判断出能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.
（2）由题意可知选择全文的概率，再利用二项分布求概率公式，从而估计出在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．
（1）据题意可知
选择全文 不选择全文 总计
男生 10 15 25
女生 20 5 25
总计 30 20 50
则
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.
（2）用样本的频率视作概率，则高一年级女生选择全文的概率为，
抽到两人中恰好一人选择全文的概率为.
16．（2024高二下·百色期末）每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求：
（1）若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？
（2）若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？
（3）若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？
【答案】（1）解：选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，
共有种选法.
（2）解：选调的志愿者中必有教师，有两种情况：
选1名教师5名学生和2名教师4名学生，
共有种选法.
（3）解：选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，
有两种情况：
教师和高三学生各选1名，高一、高二各选2名学生和教师；
教师和高三学生各选2名，高一、高二各选1名学生，
共有种选法.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先选1名教师，再从高一高二选5人，从而算出组合数得出不同选调方法种数.
（2）选调的志愿者中必有教师，有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，从而算出组合数得出不同选调方法种数.
（3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况，教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，从而算出组合数得出不同选调方法种数.
（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，共有种选法.
（2）选调的志愿者中必有教师，有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，
共有种选法.
（3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况：
教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，
共有种选法.
17．（2024高二下·百色期末）已知函数.
（1）求在上的最大值；
（2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
又因为，，
所以，当时，函数取最大值，最大值为，
所以在上的最大值为.
（2）解：因为，
所以，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为，
且当时，，当时，，
因为函数恰有三个零点，
所以，且，
解得，
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理；函数极限
【解析】【分析】（1）先求导，再利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值和端点的函数值，再比较得出函数在上的最大值.
（2）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合题意和函数求极限的方法以及零点存在性定理，从而列出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（1）因为，，
所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
所以在上的最大值为.
（2）因为，
所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为，
且当时，，当时，，
因为函数恰有三个零点，
所以，且，
解得，.
所以的取值范围为.
18．（2024高二下·百色期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
（1）记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
（2）若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
（3）在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
【答案】（1）解：由题意，随机变量 服从参数为 的两点分布，
则，
所以
（2）解：记 表示事件： “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”；
记 表示事件： “甲投中花球”，
则
，
所以
（3）解：由题意可知可取，
则
所以.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】(1)利用两点分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式和方差公式，从而得出随机变量X的数学期望和方差.
(2)先设出事件A和事件B，再分别计算P(A)、P(AB)，最后用条件概率公式计算得出他是投中了花球而得到了2分的概率.
(3)利用超几何分布求概率公式，从而分别计算出所有可能情况的概率，进而计算出该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
（1）由题设， 服从参数为 的两点分布，.
（2）记 表示事件： “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”；
记 表示事件： “甲投中花球”， 则
于是
（3）由题设 值可取， 则
于是
19．（2024高二下·百色期末）设，.
（1）求函数，的单调区间和极值；
（2）若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值.
【答案】（1）解：由题意，所以，
可得
令，可得，
所以，
所以函数在区间上单调递增；
令，可得，
解得，
函数在区间上单调递增；
令，可得，
所以，
所以，函数在上的递增区间为：与，
递减区间为：；
当时，函数取极大值，极大值为；
当时，函数取极小值，极小值为.
（2）解：关于不等式在区间恒成立，
则在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又因为，
所以在上的最大值为1，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，当时在上恒成立；
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又因为，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，可得：.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，再解不等式可得函数的单调递增区间，再解不等式可得函数的单调递减区间，从而解方程得出函数的极值点.
（2）令，由已知条件可得在区间上恒成立，从而证出当时，函数单调递增，再判断当时不满足要求，从而得出实数的取值范围.
（1）由题设，有，可得
令可得，所以，
所以函数在区间上单调递增；
令可得，解得，.
函数在区间上单调递增；
令可得，所以，
所以，函数在上的递增区间为：与；递减区间为：.
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为，
（2）关于不等式在区间恒成立，
即：在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又，
从而在上的最大值为1，即在上恒成立.
于是在上恒成立，
所以在上单调递增；
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增；
从而在上恒成立.
所以，当时在上恒成立.
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，得：.
1 / 1广西百色市2023-2024学年高二下学期期末教学质量调研测试数学试题
1．（2024高二下·百色期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·百色期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（　　）条不同路径.
A．4 B．5 C．9 D．10
3．（2024高二下·百色期末）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第时，原油的温度（单位：）为，若，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·百色期末）下列说法中正确的有（　　）
①线性回归方程至少经过一个样本点；
②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强；
③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好；
④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024高二下·百色期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（　　）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
6．（2024高二下·百色期末）设是的导函数，已知，则（　　）
A． B．1 C． D．2
7．（2024高二下·百色期末）在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（　　）
A．600 B．800 C．1200 D．1400
8．（2024高二下·百色期末）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
9．（2024高二下·百色期末）某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高村村民.2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　）
年份 2017 2019
年份代号x 4 5 7 8
人均年纯收入y 2.1 m n 5.9
A．
B．年村人均年纯收入约为7万元
C．从年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D．年的人均年纯收入残差值为
10．（2024高二下·百色期末）设，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．展开式的偶数项系数和为64
11．（2024高二下·百色期末）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（　　）
A．在上单调递增 B．不等式的解集为
C．若恒成立，则 D．若，则
12．（2024高二下·百色期末）已知，则的值为　 　.
13．（2024高二下·百色期末）已知曲线C的方程为，则曲线C在点处的切线方程为　 　.
14．（2024高二下·百色期末）阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为　 　.
15．（2024高二下·百色期末）新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文（政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．
（1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；
　 选择全文 不选择全文 总计
男生 　 　 　
女生 　 　 　
总计 　 　 　
（2）将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参公式：，其中
16．（2024高二下·百色期末）每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求：
（1）若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？
（2）若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？
（3）若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？
17．（2024高二下·百色期末）已知函数.
（1）求在上的最大值；
（2）若函数恰有三个零点，求a的取值范围.
18．（2024高二下·百色期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
（1）记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
（2）若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
（3）在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
19．（2024高二下·百色期末）设，.
（1）求函数，的单调区间和极值；
（2）若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关，
且图①，②比③，④的线性相关性更强，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和散点图以及相关系数的知识，从而比较出，，，的大小.
2．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：走上面需要两步，每步都有两种路径，有种方法，
走下面需要两步，第一步有三种路径，第二步有两种路径，有种方法，
共计有4+6=10种方法.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和分类加法计数原理、分步乘法计数原理，从而得出不同路径共有的条数.
3．【答案】A
【知识点】极限及其运算；导数的概念；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由导数的定义可知，
在第2h时，原油温度的瞬时变化率为在处的导数，
因为
所以，
则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的定义，从而求出的值，进而得出在第2h时，原油温度的瞬时变化率.
4．【答案】B
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为线性回归方程可以不经过任何一个样本点，故①错，
因为值越大则两个变量的相关程度越强，故②错，
因为决定系数越大，模型拟合效果越好，故③对，
因为残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，
则回归方程的预报精确度越高，故④对.
故答案为：B.
【分析】根据线性回归方程和相关系数以及残差分析，从而逐项判断找出说法正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，所以，
因为二项式的展开式的通项公式为：，
令，可得，
所以展开式中的常数项为第项.
故答案为：D.
【分析】由已知条件结合二项式系数的性质求出的值，再结合二项展开式的通项公式和常数项的定义，从而得出展开式中的常数项.
6．【答案】D
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
所以，.
故答案为：D.
【分析】根据导数的运算法则求出导函数，再进行赋值求出的值，从而得出函数的解析式，再代入得出函数的值.
7．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：依题意可知，，
又因为，
所以，
所以数学成绩超过120分的人数约为.
故答案为：B.
【分析】由随机变量的密度函数得出的值，再由已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性得出的值，则根据频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出数学成绩超过120分的人数.
8．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，
此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，
此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；
故答案为：拔测试的安排方案有种.
故答案为：B.
【分析】根据排列数的应用，利用捆绑法求出前庭功能、失重飞行两项测试相邻的所有排法，再求出前庭功能和失重飞行相邻且超重耐力和失重飞行也相邻的所有排法，最后利用排除法即可求解出答案.
9．【答案】A,C
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意，易得，
代入直线中得到，
所以，
所以，故A正确，
因为2025年的代号为13，
所以，故B错误，
因为每增加1，约增加1，
得到每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确，
当时，，
又因为残差值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用平均数公式判断出选项A；利用回归直线方程代入法，则判断出选项B和选项C；利用残差的求法判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：对于A，
，
出现的只能是，
则，所以，故A正确；
对于B，当时，，则，
当时，
可以化为：
①，
又②，
由①-②得，解得，故B错误；
对于C，因为含有的项要从第三个式子才有，
所以，故C正确；
对于D，，
展开式的偶数项系数和即为偶数项二项式系数和，
即为二项式系数和的一半，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和二项式定理求展开式通项的方法，则求出的值，则判断出选项A；通过赋值法结合已知条件求出的值，则判断出选项B；由选项A结合代入法，则判断出选项C；利用已知条件结合二项式系数的性质，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以.
令，
则，
所以（c为常数），
所以.
因为，所以，
则.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B，当时，；当时，；当时，，
因为，
根据单调性知：，故B正确；
对于C，若，则.
当时，恒成立；
当时，等价于，则，
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，
则，
因为在恒小于0，在上单调递增，且，
所以，且，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】构造函数，根据已知条件计算得出，利用导数判断函数f(x)的单调性，则可判断出选项A和选项B；分离参数，结合的单调性与最值，则可判断选项C；由题意得出，再结合函数的单调性得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】0
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：，
或，
解得或，为整数，故，
.
故答案为：0.
【分析】根据已知条件和组合数的性质以及排列数公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
因为切线方程过点，
所以，
化简得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出曲线C在点处的切线方程.
14．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件，
则，，
所以，
，
，
则从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和条件概率公式以及全概率公式，从而得出从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率.
15．【答案】（1）解：依题意可知：
选择全文 不选择全文 总计
男生 10 15 25
女生 20 5 25
总计 30 20 50
则，
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.
（2）解：用样本的频率视作概率，
则高一年级女生选择全文的概率为，
抽到两人中恰好一人选择全文的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，再利用公式求出的值，并与临界值对比分析判断出能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.
（2）由题意可知选择全文的概率，再利用二项分布求概率公式，从而估计出在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．
（1）据题意可知
选择全文 不选择全文 总计
男生 10 15 25
女生 20 5 25
总计 30 20 50
则
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关.
（2）用样本的频率视作概率，则高一年级女生选择全文的概率为，
抽到两人中恰好一人选择全文的概率为.
16．【答案】（1）解：选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，
共有种选法.
（2）解：选调的志愿者中必有教师，有两种情况：
选1名教师5名学生和2名教师4名学生，
共有种选法.
（3）解：选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，
有两种情况：
教师和高三学生各选1名，高一、高二各选2名学生和教师；
教师和高三学生各选2名，高一、高二各选1名学生，
共有种选法.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）先选1名教师，再从高一高二选5人，从而算出组合数得出不同选调方法种数.
（2）选调的志愿者中必有教师，有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，从而算出组合数得出不同选调方法种数.
（3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况，教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，从而算出组合数得出不同选调方法种数.
（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，共有种选法.
（2）选调的志愿者中必有教师，有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，
共有种选法.
（3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况：
教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，
共有种选法.
17．【答案】（1）解：因为，，
所以，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
又因为，，
所以，当时，函数取最大值，最大值为，
所以在上的最大值为.
（2）解：因为，
所以，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为，
且当时，，当时，，
因为函数恰有三个零点，
所以，且，
解得，
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理；函数极限
【解析】【分析】（1）先求导，再利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值和端点的函数值，再比较得出函数在上的最大值.
（2）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再结合题意和函数求极限的方法以及零点存在性定理，从而列出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（1）因为，，
所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
所以在上的最大值为.
（2）因为，
所以，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为，
且当时，，当时，，
因为函数恰有三个零点，
所以，且，
解得，.
所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题意，随机变量 服从参数为 的两点分布，
则，
所以
（2）解：记 表示事件： “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”；
记 表示事件： “甲投中花球”，
则
，
所以
（3）解：由题意可知可取，
则
所以.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】(1)利用两点分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式和方差公式，从而得出随机变量X的数学期望和方差.
(2)先设出事件A和事件B，再分别计算P(A)、P(AB)，最后用条件概率公式计算得出他是投中了花球而得到了2分的概率.
(3)利用超几何分布求概率公式，从而分别计算出所有可能情况的概率，进而计算出该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
（1）由题设， 服从参数为 的两点分布，.
（2）记 表示事件： “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”；
记 表示事件： “甲投中花球”， 则
于是
（3）由题设 值可取， 则
于是
19．【答案】（1）解：由题意，所以，
可得
令，可得，
所以，
所以函数在区间上单调递增；
令，可得，
解得，
函数在区间上单调递增；
令，可得，
所以，
所以，函数在上的递增区间为：与，
递减区间为：；
当时，函数取极大值，极大值为；
当时，函数取极小值，极小值为.
（2）解：关于不等式在区间恒成立，
则在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又因为，
所以在上的最大值为1，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，当时在上恒成立；
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又因为，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，可得：.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，再解不等式可得函数的单调递增区间，再解不等式可得函数的单调递减区间，从而解方程得出函数的极值点.
（2）令，由已知条件可得在区间上恒成立，从而证出当时，函数单调递增，再判断当时不满足要求，从而得出实数的取值范围.
（1）由题设，有，可得
令可得，所以，
所以函数在区间上单调递增；
令可得，解得，.
函数在区间上单调递增；
令可得，所以，
所以，函数在上的递增区间为：与；递减区间为：.
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为，
（2）关于不等式在区间恒成立，
即：在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又，
从而在上的最大值为1，即在上恒成立.
于是在上恒成立，
所以在上单调递增；
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增；
从而在上恒成立.
所以，当时在上恒成立.
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，得：.
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