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湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·长沙期末）若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（　　）
A． B．6 C． D．36
2．（2024高一下·长沙期末）掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
3．（2024高一下·长沙期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（　　）
A． B．1 C． D．2
4．（2024高一下·长沙期末）已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（　　）
A．29 B．30 C．31 D．32
5．（2024高一下·长沙期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·长沙期末）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C．2 D．
7．（2024高一下·长沙期末）如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·长沙期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）=（　　）
A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
9．（2024高一下·长沙期末）下列说法正确的有（　　）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10%
B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10．（2024高一下·长沙期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与所成的角的大小为
B．直线平面
C．平面平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．（2024高一下·长沙期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
12．（2024高一下·长沙期末）复数，则　 　.
13．（2024高一下·长沙期末）如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为　 　m.
14．（2024高一下·长沙期末）已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是　 　.
15．（2024高一下·长沙期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B；
（2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积．
16．（2024高一下·长沙期末）对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差.
17．（2024高一下·长沙期末）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥的体积.
18．（2024高一下·长沙期末）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷
　 　 按造林方式分
地区 造林总面积 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新
内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950
河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643
河南 149002 97647 13429 22417 15376 133
重庆 226333 100600 　 62400 63333 　
陕西 297642 184108 33602 63865 16067 　
甘肃 325580 260144 　 57438 7998 　
新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091
青海 178414 16051 　 159734 2629 　
宁夏 91531 58960 　 22938 8298 1335
北京 19064 10012 　 4000 3999 1053
（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；
（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？
（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．
19．（2024高一下·长沙期末）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，设复数，
因为复数的模为10 ，所以，解得，则复数的实部为.
故答案为：C.
【分析】由题意，设复数，根据模长的计算公式列式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：掷两枚质地均匀的骰子， 设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，
事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；
，
因为P(A)P(B)=P(AB) ，所以A与B独立，故选项C正确；
事件A与B不相等，故选项D错误.
故选：C
【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：过点作，如图所示：
四边形为直角梯形，且，，则，
在直角中，，
根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为.
故答案为：C.
【分析】过点作，在直角中，求得，结合斜二测画法的规则，求原平面图形的高即可.
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，
易知样本数据的中位数为，
，则第9个数据17为第70百分位数，
故这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是.
故答案为：C.
【分析】利用百分位数和中位数定义求解即可.
5．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解： 以为基底，
则
.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：设向量，的夹角为，
由，可得，
即，即，
因为在上的投影向量为，所以，
所以，即，则.
故答案为：B.
【分析】设，的夹角为，由题意可得，，解方程即可.
7．【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在三棱柱中，，，
则，，
即，故几何体为三棱台；
设三棱台的体积为，几何体的体积为，
设h为三棱柱的高，则，
，
故.
故答案为：A.
【分析】由题意确定几何体为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台的体积和棱柱的体积之间的关系求解即可.
8．【答案】D
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序为：
（强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，中，强），（弱，强，中），
即基本事件总数n=6，
按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定，
该公司录用到能力最强的人包含的基本事件有：（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，强，中），共三种情况，
∴该公司录用到能力最强的人的概率p= = ．
该公司录用到能力中等的人包含的基本事件有：（强，弱，中），（弱，中，强），共二种情况，
∴该公司录用到能力中等的人的概率q= ．
故选：D．
【分析】利用列举法列出基本事件总数和该公司录用到能力最强的人包含的基本事件个数和该公司录用到能力中等的人包含的基本事件个数，由此能求出结果．
9．【答案】A,D
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由简单随机抽样得定义可知：每个个体被抽到的可能性均为，故A正确；
B、数据1，2，，6，7的平均数为4，即，
则方差为，故B错误；
C、将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的9倍，故C错误；
D、样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，
方差为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据简单随机抽样的特点即可判断A；根据平均数以及方差的计算公式即可判断BD；根据一组数据中的每个数据都乘以一个数后的性质即可判断C.
10．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
则，即为正三角形，
因为，分别为，的中点，所以，
则直线与所成的角即为所成角或其补角，，
即直线与所成的角的大小为，故A正确；
B、由，可得四边形为平行四边形，
故，而，故，
因为平面，平面，所以平面，故B正确；
C、取EF中点为M，连接DM，如图所示：
显然，故，假设平面平面，
而平面平面，
平面，则平面，又平面，
则，这与二者交于D点矛盾，故C错误；
D、不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d，
则，
而，
则，解得，
设直线与平面所成角为，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平移法可求出直线与所成的角即可判断A；根据线面平行的判定定理即可判断B；采用反证法即可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、 若，
则，即，即⊥，
同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，故A错误；
B、过点作⊥于点，取的中点，连接，如图所示：
则，，
，即点在中线上，则向量一定经过的重心，故B正确；
C、 若， 由奔驰定理可知：，
则，故C正确；
D、分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心即可判断A；作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心即可判断B；由题意，利用奔驰定理求解即可判断C；作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，，
则.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简求得复数z，再求，最后根据复数代数形式的加法法则求解即可.
13．【答案】300
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，m，则，
在中，，
则，即，
又直角三角形ABC中，，故.
故答案为：300.
【分析】先求出，继而利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC即可.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；正弦定理
【解析】【解答】解： 在三棱锥中，由，可得为等腰三角形，
易知，，
的外接圆的半径为，
则三棱锥的外接球的半径为，
即球的表面积为.
故答案为：.
【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径，再计算外接球的表面积即可.
15．【答案】（1）解：，由余弦定理可得，
即，即
因为，所以；
（2）解：由，得，则由平行四边形法则可得，，
则，即①，
又，即②，
由①②可得，则.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理求角B即可；
（2）由向量的运算得出，结合余弦定理以及三角形面积公式求解即可.
（1）因为，所以.
即，即
又，所以.
（2）由，得，则由平行四边形法则可得，
则，即①
又，即②
由①②可得.
则.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）；
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，
由，
可得，解得，
则第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义计算即可；
（2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合求解即可.
（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，
由，
可得，解得，
所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
则且，
因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，则，
又也平面，平面，所以平面；
（2）解：连接，过作于点，如图所示：
因为底面圆，底面圆，所以，
又平面，所以平面.
则.
因为直线与圆柱底面所成角为，底面圆，底面圆，
所以，则即为直线与圆柱底面所成角，
即，由，得，
所以，
在中，，所以，
由，得，
解得.所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定方法与性质可得，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）如图，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，确定，利用等面积法求出，结合三棱锥的体积公式计算即可.
（1）如图，取的中点，连接，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）如图，连接，过作于点，
因为底面圆，底面圆，所以，
又平面，所以平面.
则.
因为直线与圆柱底面所成角为，底面圆，底面圆，
所以，则即为直线与圆柱底面所成角，
即，由，得，
所以，
在中，，所以，
由，得，
解得.所以.
18．【答案】解：（Ⅰ） 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省；
（Ⅱ） 设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A
在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则；
（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B
新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为，
其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即
从4个地区中任取2个地区共有6种情况，，，，，，
其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，，，，，
则．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据表格数据判断即可；（Ⅱ）根据古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可.
19．【答案】（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，则，
满足，则，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
因为，
所以在中，，
则二面角的余弦值为；
（3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，
设第号（）多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
，
则简单多面体的总曲率为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由直棱柱的性质可得，，再由点的曲率可求出，则为等边三角形，所以，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，则平面，所以，，则平面，所以可得为二面角的平面角，在中求解即可；
（3）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，设第号（）多边形有条边，表示出多面体的所有的棱和顶点，及所有多边形的内角之和为，从而可表示出总曲率，化简即可.
（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
设，则，
所以，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以在中，，
所以二面角的余弦值为；
（3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，
设第号（）多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
所以简单多面体的总曲率为.
1 / 1湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·长沙期末）若复数的模为10，虚部为，则复数的实部为（　　）
A． B．6 C． D．36
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，设复数，
因为复数的模为10 ，所以，解得，则复数的实部为.
故答案为：C.
【分析】由题意，设复数，根据模长的计算公式列式求解即可.
2．（2024高一下·长沙期末）掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：掷两枚质地均匀的骰子， 设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，
事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；
，
因为P(A)P(B)=P(AB) ，所以A与B独立，故选项C正确；
事件A与B不相等，故选项D错误.
故选：C
【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.
3．（2024高一下·长沙期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：过点作，如图所示：
四边形为直角梯形，且，，则，
在直角中，，
根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为.
故答案为：C.
【分析】过点作，在直角中，求得，结合斜二测画法的规则，求原平面图形的高即可.
4．（2024高一下·长沙期末）已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（　　）
A．29 B．30 C．31 D．32
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，
易知样本数据的中位数为，
，则第9个数据17为第70百分位数，
故这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是.
故答案为：C.
【分析】利用百分位数和中位数定义求解即可.
5．（2024高一下·长沙期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解： 以为基底，
则
.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
6．（2024高一下·长沙期末）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：设向量，的夹角为，
由，可得，
即，即，
因为在上的投影向量为，所以，
所以，即，则.
故答案为：B.
【分析】设，的夹角为，由题意可得，，解方程即可.
7．（2024高一下·长沙期末）如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，三棱柱高为3，面积为，则几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在三棱柱中，，，
则，，
即，故几何体为三棱台；
设三棱台的体积为，几何体的体积为，
设h为三棱柱的高，则，
，
故.
故答案为：A.
【分析】由题意确定几何体为三棱台，再结合棱台的体积公式求出三棱台的体积和棱柱的体积之间的关系求解即可.
8．（2024高一下·长沙期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p，录用到能力中等的人的概率为q，则（p，q）=（　　）
A．（ ， ） B．（ ， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】D
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序为：
（强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，中，强），（弱，强，中），
即基本事件总数n=6，
按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定，
该公司录用到能力最强的人包含的基本事件有：（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，强，中），共三种情况，
∴该公司录用到能力最强的人的概率p= = ．
该公司录用到能力中等的人包含的基本事件有：（强，弱，中），（弱，中，强），共二种情况，
∴该公司录用到能力中等的人的概率q= ．
故选：D．
【分析】利用列举法列出基本事件总数和该公司录用到能力最强的人包含的基本事件个数和该公司录用到能力中等的人包含的基本事件个数，由此能求出结果．
9．（2024高一下·长沙期末）下列说法正确的有（　　）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10%
B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
【答案】A,D
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、由简单随机抽样得定义可知：每个个体被抽到的可能性均为，故A正确；
B、数据1，2，，6，7的平均数为4，即，
则方差为，故B错误；
C、将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的9倍，故C错误；
D、样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，
方差为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据简单随机抽样的特点即可判断A；根据平均数以及方差的计算公式即可判断BD；根据一组数据中的每个数据都乘以一个数后的性质即可判断C.
10．（2024高一下·长沙期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与所成的角的大小为
B．直线平面
C．平面平面
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、连接，如图所示：
则，即为正三角形，
因为，分别为，的中点，所以，
则直线与所成的角即为所成角或其补角，，
即直线与所成的角的大小为，故A正确；
B、由，可得四边形为平行四边形，
故，而，故，
因为平面，平面，所以平面，故B正确；
C、取EF中点为M，连接DM，如图所示：
显然，故，假设平面平面，
而平面平面，
平面，则平面，又平面，
则，这与二者交于D点矛盾，故C错误；
D、不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d，
则，
而，
则，解得，
设直线与平面所成角为，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平移法可求出直线与所成的角即可判断A；根据线面平行的判定定理即可判断B；采用反证法即可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值即可判断D.
11．（2024高一下·长沙期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　）
A．若，则点为的外心（外接圆圆心）
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．若，则点是的内心
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、 若，
则，即，即⊥，
同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，故A错误；
B、过点作⊥于点，取的中点，连接，如图所示：
则，，
，即点在中线上，则向量一定经过的重心，故B正确；
C、 若， 由奔驰定理可知：，
则，故C正确；
D、分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心即可判断A；作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心即可判断B；由题意，利用奔驰定理求解即可判断C；作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上即可判断D.
12．（2024高一下·长沙期末）复数，则　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，，
则.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简求得复数z，再求，最后根据复数代数形式的加法法则求解即可.
13．（2024高一下·长沙期末）如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为　 　m.
【答案】300
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，m，则，
在中，，
则，即，
又直角三角形ABC中，，故.
故答案为：300.
【分析】先求出，继而利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC即可.
14．（2024高一下·长沙期末）已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；正弦定理
【解析】【解答】解： 在三棱锥中，由，可得为等腰三角形，
易知，，
的外接圆的半径为，
则三棱锥的外接球的半径为，
即球的表面积为.
故答案为：.
【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径，再计算外接球的表面积即可.
15．（2024高一下·长沙期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B；
（2）若D为AC的中点，且，b＝3，求的面积．
【答案】（1）解：，由余弦定理可得，
即，即
因为，所以；
（2）解：由，得，则由平行四边形法则可得，，
则，即①，
又，即②，
由①②可得，则.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理求角B即可；
（2）由向量的运算得出，结合余弦定理以及三角形面积公式求解即可.
（1）因为，所以.
即，即
又，所以.
（2）由，得，则由平行四边形法则可得，
则，即①
又，即②
由①②可得.
则.
16．（2024高一下·长沙期末）对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）；
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，
由，
可得，解得，
则第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义计算即可；
（2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合求解即可.
（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，
由，
可得，解得，
所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
17．（2024高一下·长沙期末）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）若直线与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：
则且，
因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，则，
又也平面，平面，所以平面；
（2）解：连接，过作于点，如图所示：
因为底面圆，底面圆，所以，
又平面，所以平面.
则.
因为直线与圆柱底面所成角为，底面圆，底面圆，
所以，则即为直线与圆柱底面所成角，
即，由，得，
所以，
在中，，所以，
由，得，
解得.所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定方法与性质可得，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）如图，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，确定，利用等面积法求出，结合三棱锥的体积公式计算即可.
（1）如图，取的中点，连接，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）如图，连接，过作于点，
因为底面圆，底面圆，所以，
又平面，所以平面.
则.
因为直线与圆柱底面所成角为，底面圆，底面圆，
所以，则即为直线与圆柱底面所成角，
即，由，得，
所以，
在中，，所以，
由，得，
解得.所以.
18．（2024高一下·长沙期末）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷
　 　 按造林方式分
地区 造林总面积 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新
内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950
河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643
河南 149002 97647 13429 22417 15376 133
重庆 226333 100600 　 62400 63333 　
陕西 297642 184108 33602 63865 16067 　
甘肃 325580 260144 　 57438 7998 　
新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091
青海 178414 16051 　 159734 2629 　
宁夏 91531 58960 　 22938 8298 1335
北京 19064 10012 　 4000 3999 1053
（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；
（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？
（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．
【答案】解：（Ⅰ） 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省；
（Ⅱ） 设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A
在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则；
（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B
新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为，
其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即
从4个地区中任取2个地区共有6种情况，，，，，，
其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，，，，，
则．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（Ⅰ）根据表格数据判断即可；（Ⅱ）根据古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可.
19．（2024高一下·长沙期末）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
【答案】（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，如图所示：
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，则，
满足，则，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
因为，
所以在中，，
则二面角的余弦值为；
（3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，
设第号（）多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
，
则简单多面体的总曲率为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由直棱柱的性质可得，，再由点的曲率可求出，则为等边三角形，所以，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，则平面，所以，，则平面，所以可得为二面角的平面角，在中求解即可；
（3）设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，设第号（）多边形有条边，表示出多面体的所有的棱和顶点，及所有多边形的内角之和为，从而可表示出总曲率，化简即可.
（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
设，则，
所以，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以在中，，
所以二面角的余弦值为；
（3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，
设第号（）多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
所以简单多面体的总曲率为.
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