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湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
1．（2024高一下·湖南期末）已知，则（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，则，.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则求得，再求，最后求即可.
2．（2024高一下·湖南期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
3．（2024高一下·湖南期末）已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
从中任取1个数字，有4种取法，
满足的有，共2种，则满足的概率为 概率.
故答案为：B.
【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.
4．（2024高一下·湖南期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，
函数在上单调递增，
因为，所以，则.
故答案为：C.
【分析】先将转化成统一格式，再利用对数函数的单调性比较大小即可.
5．（2024高一下·湖南期末）已知圆台的上 下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上 下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：过点作垂直于点，如图所示：
则，设圆台的高为，
因为过轴的横截面的面积为，所以，解得，
在中，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出高和母线，再利用圆台的表面积公式求解即可.
6．（2024高一下·湖南期末）如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（　　）
A． B．
C． D．大小关系不能确定
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
则，
，即.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积运算求得，比较即可.
7．（2024高一下·湖南期末）将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：，
作出函数与函数在上的图象，如图所示：
由图可知：曲线与的交点个数为6.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的变换求得函数，作出函数与在的图象，数形结合判断即可.
8．（2024高一下·湖南期末）由甲 乙 丙 丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲 丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙 丙都猜对的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设甲 乙 丙 丁猜对的概率依次为，
由题意可得：，解得，
则乙 丙都猜对的概率是.
故答案为：B.
【分析】设甲 乙 丙 丁猜对的概率依次为，由题意，利用相互独立事件同时发生概率公式列方程组求解即可.
9．（2024高一下·湖南期末）已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
　 工资 兼职 理财 其他
收入占比
　 衣 食 住 行 其他
支出占比
则下列判断中正确的是（　　）
A．小王2023年5月份的收入主要来源是工资
B．小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出
C．小王2023年5月份的最大支出出于食
D．小王2023年5月份的工资刚好够支出
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：A、由表可知：小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确；
B、小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，
则小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误；
C、小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确；
D、小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据表中的数据逐个分析判断即可.
10．（2024高一下·湖南期末）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路 秋千绳 秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（　　）
A．秋千绳与墙面始终平行
B．秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
C．秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
D．秋千板与道路始终垂直
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、由题意可知：在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确；
B、在荡秋千的过程中，但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复，故B正确；
C、在荡秋千的过程中，秋千板始终与墙面垂直，故C错误；
D、在荡秋千的过程中，秋千板与道路始终垂直，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面、线线、面面关系逐项判断即可.
11．（2024高一下·湖南期末）若且，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：且，则，即，，，
A、
，
当且仅当，即时等号成立，则，故A正确；
B、，
当且仅当，即时等号成立，则，故正确；
C、，因为，
所以，所以，即，故C错误；
D、，
当且仅当时等号成立，此时不符合题意，则等号不成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得，利用1的代换可得即可判断A；，利用二次函数可求最小值即可判断B；作差法比较数的大小即可判断C；利用1的代换可得即可判断D.
12．（2024高一下·湖南期末）已知向量满足，且，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
，解得.
故答案为：.
【分析】利用向量数量积的运算律求解即可.
13．（2024高一下·湖南期末）王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为）；③在上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数　 　.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：是奇函数，在上为单调增函数，但定义域为，
即函数满足①③，不满足②，符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】写出符合其中两个条件的一个函数即可.
14．（2024高一下·湖南期末）在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于　 　.
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：取的中点，连接，如图所示：
易知且，因为是的中位线，
所以且，所以且，所以四点共面，
则过作直三棱柱的截面就是梯形，
因为，所以由勾股定理得，
，
，
则等腰梯形的高，
截面等腰梯形的面积.
【分析】取的中点，连接，过作直三棱柱的截面就是梯形，再求截面等腰梯形的面积即可.
15．（2024高一下·湖南期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
【答案】（1）解：
，
则函数的最小正周期；
（2）解：当时，，，
则函数在区间的最大值为1，最小值为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开，结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式求解即可；
（2）根据自变量的取值范围为，求得的范围，结合正弦函数的图象与性质求得函数在区间上的最大值和最小值即可.
（1）
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，所以，
所以，
即函数在区间的最大值为1，最小值为.
16．（2024高一下·湖南期末）某中学有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求以及从该校高一年级 高二年级 高三年级学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计该校这名学生竞赛成绩的平均数 中位数 众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数）
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得，
根据分层抽样可得：从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
从高三年级学生中抽取人；
（2）解：由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在80分（含80分）以上的频率为，
则估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分（含80分）以上的人数为人；
（3）解：估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
，
因为，
所以中位数位于区间内，设为，
则，解得，
故估计中位数为76.4，因为区间的频率最大，所以估计众数为75.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频数分布直方图各矩形面积和为1列式求得参数，再利用分层抽样的性质求解各个年级的人数即可；
（2）利用频率近似得到概率，再求解人数即可；
（3）利用平均数，中位数，众数的性质分别求解即可.
（1）由频率分布直方图可得：，
解得.
依题意从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
从高三年级学生中抽取人.
（2）由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在
80分（含80分）以上的频率为，
所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在
80分（含80分）以上的人数为人
（3）估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
，
因为，
所以中位数位于区间内，设为，
则，解得，
故估计中位数为76.4，因为区间的频率最大，所以估计众数为75.
17．（2024高一下·湖南期末）已知内角所对的边长分 为.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】（1）解：，由余弦定理得，
整理得，则，因为，所以；
（2）解：因为为锐角三角形，，所以，解得，
，由正弦定理，可得
，
因为，所以，所以，则，
所以，
故的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理化简求角A即可；
（2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可.
（1）由，得，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
又，则.
（2）因为为锐角三角形，，
所以可得，
又，故由正弦定理得：
，
因为，所以，所以，则，
所以，
故的取值范围为.
18．（2024高一下·湖南期末）如图，在棱长为3的正方体ABCD A'B'C'D'中，M为AD的中点.
（1）求证：平面；
（2）在体对角线上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：连接，交于点E，连接，如图所示：
因为四边形是正方形，所以E是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又因为面，面，所以面；
（2）在对角线上存在点Q，且，使得平面，
证明：因为四边形是正方形，所以，
因为平面，面，所以，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
作于Q，因为，所以，
因为平面，平面平面，所以平面，
由，可得，
所以当时，平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接交于点E，连接，证得，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据题意，证得平面，得到平面平面，作，利用面面垂直的性质，证得平面，再由，即可求的长.
（1）证明：连接，交于点E，连接.
因为四边形是正方形，所以E是的中点，
又M是的中点，所以，
因为面，面，所以面.
（2）在对角线上存在点Q，且，使得平面，
证明如下：因为四边形是正方形，所以，
因为平面，面，所以，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
作于Q，因为，所以，
因为平面，平面平面，所以平面，
由，可得，
所以当时，平面.
19．（2024高一下·湖南期末）将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当肘，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率.
（1）求，
（2）当时，求的表达式；
（3）求满足的的对数（注：与算一对）
【答案】（1）解：当时，前5个奇数是个位数，后45个奇数两位数，则，
即这个数中共有95个数字，其中含有数字1的项有，
其中含有数字1的个数为，则恰好取到1的概率为；
（2）解：当时，这个数由个一位数组成，；
当时，这个数由5个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成，
则，
综上所述，；
（3）解：由（2）得：当时，；当时，；
当时，；
要满足，
则或，
或或或，
或或或或，
或或或或
或或或或或，
又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的，
所以满足的的对数是17对.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可；
（2）利用分段函数思想，来研究个数即可；
（3）利用分类列举判断即可.
（1）当时，因为前5项是个位数，后45项是两位数，所以，
即这个数中共有95个数字，其中含有数字1的项有，
所以含有数字1的个数为，则恰好取到1的概率为.
（2）当时，这个数由个一位数组成，；
当时，这个数由5个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成，
则；
综上所述，
（3）由（2）得，当时，；
当时，；
当时，；
要满足，
则或，
或或或，
或或或或，
或或或或
或或或或或，
又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的，
所以满足的的对数是17对.
1 / 1湖南省名校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
1．（2024高一下·湖南期末）已知，则（　　）
A．1 B．2 C． D．5
2．（2024高一下·湖南期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·湖南期末）已知，把通过四舍五入精确到小数点后位的近似值分别记为，若从中任取1个数字，则满足的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·湖南期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·湖南期末）已知圆台的上 下底面的半径分别为，若，过轴（其中分别为上 下底面的圆心）的轴截面的面积为，则该圆台的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·湖南期末）如图，正方形是同样大小的正方形，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，则（　　）
A． B．
C． D．大小关系不能确定
7．（2024高一下·湖南期末）将函数的图象的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，曲线与的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2024高一下·湖南期末）由甲 乙 丙 丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲 丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙 丙都猜对的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·湖南期末）已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：
　 工资 兼职 理财 其他
收入占比
　 衣 食 住 行 其他
支出占比
则下列判断中正确的是（　　）
A．小王2023年5月份的收入主要来源是工资
B．小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出
C．小王2023年5月份的最大支出出于食
D．小王2023年5月份的工资刚好够支出
10．（2024高一下·湖南期末）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路 秋千绳 秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（　　）
A．秋千绳与墙面始终平行
B．秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
C．秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复
D．秋千板与道路始终垂直
11．（2024高一下·湖南期末）若且，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024高一下·湖南期末）已知向量满足，且，则　 　.
13．（2024高一下·湖南期末）王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为）；③在上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数　 　.
14．（2024高一下·湖南期末）在直三棱柱中，分别为的中点，则过作直三棱柱的截面，则截面的面积等于　 　.
15．（2024高一下·湖南期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间的最大值和最小值.
16．（2024高一下·湖南期末）某中学有高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求以及从该校高一年级 高二年级 高三年级学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计该校这名学生竞赛成绩的平均数 中位数 众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数）
17．（2024高一下·湖南期末）已知内角所对的边长分 为.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
18．（2024高一下·湖南期末）如图，在棱长为3的正方体ABCD A'B'C'D'中，M为AD的中点.
（1）求证：平面；
（2）在体对角线上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由.
19．（2024高一下·湖南期末）将连续正奇数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当肘，此时为1357911，共有7个数字，则.现从这个数中随机取一个数学，为恰好取到1的概率.
（1）求，
（2）当时，求的表达式；
（3）求满足的的对数（注：与算一对）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，则，.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则求得，再求，最后求即可.
2．【答案】D
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
从中任取1个数字，有4种取法，
满足的有，共2种，则满足的概率为 概率.
故答案为：B.
【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，
函数在上单调递增，
因为，所以，则.
故答案为：C.
【分析】先将转化成统一格式，再利用对数函数的单调性比较大小即可.
5．【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：过点作垂直于点，如图所示：
则，设圆台的高为，
因为过轴的横截面的面积为，所以，解得，
在中，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出高和母线，再利用圆台的表面积公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
则，
，即.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积运算求得，比较即可.
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：，
作出函数与函数在上的图象，如图所示：
由图可知：曲线与的交点个数为6.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的变换求得函数，作出函数与在的图象，数形结合判断即可.
8．【答案】B
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设甲 乙 丙 丁猜对的概率依次为，
由题意可得：，解得，
则乙 丙都猜对的概率是.
故答案为：B.
【分析】设甲 乙 丙 丁猜对的概率依次为，由题意，利用相互独立事件同时发生概率公式列方程组求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：A、由表可知：小王2023年5月份的收入来源中工资占比为，占比最大，故A正确；
B、小王2023年5月份的兼职收入为，食的支出为，
则小王2023年5月份的兼职收入高于食的支出，故B错误；
C、小王2023年5月份的支出中食占比为，占比最大，故C正确；
D、小王2023年5月份的工资收入为，刚好够支出，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据表中的数据逐个分析判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、由题意可知：在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，故A正确；
B、在荡秋千的过程中，但与道路所成的角在变化，逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复，故B正确；
C、在荡秋千的过程中，秋千板始终与墙面垂直，故C错误；
D、在荡秋千的过程中，秋千板与道路始终垂直，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面、线线、面面关系逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：且，则，即，，，
A、
，
当且仅当，即时等号成立，则，故A正确；
B、，
当且仅当，即时等号成立，则，故正确；
C、，因为，
所以，所以，即，故C错误；
D、，
当且仅当时等号成立，此时不符合题意，则等号不成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得，利用1的代换可得即可判断A；，利用二次函数可求最小值即可判断B；作差法比较数的大小即可判断C；利用1的代换可得即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
，解得.
故答案为：.
【分析】利用向量数量积的运算律求解即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：是奇函数，在上为单调增函数，但定义域为，
即函数满足①③，不满足②，符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】写出符合其中两个条件的一个函数即可.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：取的中点，连接，如图所示：
易知且，因为是的中位线，
所以且，所以且，所以四点共面，
则过作直三棱柱的截面就是梯形，
因为，所以由勾股定理得，
，
，
则等腰梯形的高，
截面等腰梯形的面积.
【分析】取的中点，连接，过作直三棱柱的截面就是梯形，再求截面等腰梯形的面积即可.
15．【答案】（1）解：
，
则函数的最小正周期；
（2）解：当时，，，
则函数在区间的最大值为1，最小值为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开，结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简，由正弦函数的周期公式求解即可；
（2）根据自变量的取值范围为，求得的范围，结合正弦函数的图象与性质求得函数在区间上的最大值和最小值即可.
（1）
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，所以，
所以，
即函数在区间的最大值为1，最小值为.
16．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得，
根据分层抽样可得：从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
从高三年级学生中抽取人；
（2）解：由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在80分（含80分）以上的频率为，
则估计该校这2600名学生中竞赛成绩在80分（含80分）以上的人数为人；
（3）解：估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
，
因为，
所以中位数位于区间内，设为，
则，解得，
故估计中位数为76.4，因为区间的频率最大，所以估计众数为75.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频数分布直方图各矩形面积和为1列式求得参数，再利用分层抽样的性质求解各个年级的人数即可；
（2）利用频率近似得到概率，再求解人数即可；
（3）利用平均数，中位数，众数的性质分别求解即可.
（1）由频率分布直方图可得：，
解得.
依题意从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
从高三年级学生中抽取人.
（2）由频率分布直方图可得样本中竞赛成绩在
80分（含80分）以上的频率为，
所以估计该校这2600名学生中竞赛成绩在
80分（含80分）以上的人数为人
（3）估计该校这2600名学生竞赛成绩的平均数为
，
因为，
所以中位数位于区间内，设为，
则，解得，
故估计中位数为76.4，因为区间的频率最大，所以估计众数为75.
17．【答案】（1）解：，由余弦定理得，
整理得，则，因为，所以；
（2）解：因为为锐角三角形，，所以，解得，
，由正弦定理，可得
，
因为，所以，所以，则，
所以，
故的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理化简求角A即可；
（2）先由（1）以及为锐角三角形得到角B的范围，利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可.
（1）由，得，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
又，则.
（2）因为为锐角三角形，，
所以可得，
又，故由正弦定理得：
，
因为，所以，所以，则，
所以，
故的取值范围为.
18．【答案】（1）证明：连接，交于点E，连接，如图所示：
因为四边形是正方形，所以E是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又因为面，面，所以面；
（2）在对角线上存在点Q，且，使得平面，
证明：因为四边形是正方形，所以，
因为平面，面，所以，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
作于Q，因为，所以，
因为平面，平面平面，所以平面，
由，可得，
所以当时，平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）连接交于点E，连接，证得，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据题意，证得平面，得到平面平面，作，利用面面垂直的性质，证得平面，再由，即可求的长.
（1）证明：连接，交于点E，连接.
因为四边形是正方形，所以E是的中点，
又M是的中点，所以，
因为面，面，所以面.
（2）在对角线上存在点Q，且，使得平面，
证明如下：因为四边形是正方形，所以，
因为平面，面，所以，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
作于Q，因为，所以，
因为平面，平面平面，所以平面，
由，可得，
所以当时，平面.
19．【答案】（1）解：当时，前5个奇数是个位数，后45个奇数两位数，则，
即这个数中共有95个数字，其中含有数字1的项有，
其中含有数字1的个数为，则恰好取到1的概率为；
（2）解：当时，这个数由个一位数组成，；
当时，这个数由5个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成，
则，
综上所述，；
（3）解：由（2）得：当时，；当时，；
当时，；
要满足，
则或，
或或或，
或或或或，
或或或或
或或或或或，
又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的，
所以满足的的对数是17对.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可；
（2）利用分段函数思想，来研究个数即可；
（3）利用分类列举判断即可.
（1）当时，因为前5项是个位数，后45项是两位数，所以，
即这个数中共有95个数字，其中含有数字1的项有，
所以含有数字1的个数为，则恰好取到1的概率为.
（2）当时，这个数由个一位数组成，；
当时，这个数由5个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由5个一位数，45个两位数，450个三位数和个四位数组成，
则；
综上所述，
（3）由（2）得，当时，；
当时，；
当时，；
要满足，
则或，
或或或，
或或或或，
或或或或
或或或或或，
又显然是关于的单调递增函数，所以与是一一对应的，
所以满足的的对数是17对.
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