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广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
1．（2024高二下·顺德月考）已知函数，则在处的导数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由已知条件可得，
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】对求导，再将代入函数解析式中求出的值.
2．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由已知条件易知.
故答案为：A.
【分析】利用等差数列下标和进行转化，再构造出等差数列前项和的形式，从而求出的值.
3．（2024高二下·顺德月考）已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（　　）
A．7 B．9 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意得出，又因为，
当时，，故舍去；
当时，因为，则，
化简得，即且，，
故.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再结合等比数列的求和公式，从而得出正项等比数列前4项的和.
4．（2024高二下·顺德月考）设为数列的前项和，若，则（　　）
A．1012 B．2024 C． D．
【答案】A
【知识点】数列的求和；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期，
又因为，
则，，，
，，，，，，
所以，且，
所以
.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的周期性和数列的通项公式，从而列出数列的前几项，即可得到规律，再利用并项求和法得出的值.
5．（2024高二下·顺德月考）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图可知，当时，单调递减，，由此排除选项B和选项D；
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除选项C；所以选项A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象、导数判断函数的单调性的方法，从而找出导函数的图象.
6．（2024高二下·顺德月考）已知数列为等比数列，是函数的极值点，设等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．或 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由得，
由题意可知是的两个实数根，
所以又，
所以，因此.
故答案为：C.
【分析】根据函数的极值点的定义可得是的两个实数根，再由韦达定理和等比数列的性质，则根据等差数列前n项和公式得出的值.
7．（2024高二下·顺德月考）已知函数，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，
，为奇函数，
则，
，，
，为减函数，
又，
则，
，
或.
故答案为：C
【分析】利用函数奇偶性的定义可得为奇函数，再利用导函数可得为减函数 ，利用函数单调性即可求解.
8．（2024高二下·顺德月考）已知函数，，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则，所以，
令，则，
令，函数单调递减；
令，函数单调递增，
所以，
即的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，设，则，再利用导数判断出函数的单调性，从而求出的值，进而得出的最小值.
9．（2024高二下·顺德月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（　　）
A．若数列的前项和，则数列为等比数列
B．若的前项和，则数列为等差数列
C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D．若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 若数列的前项和， 当时，，
当时，
取时，，满足上式，则数列的通项公式为
则数列为等比数列，故A正确；
B、，
，不满足数列为等差数列，故B错误；
C、当时，为等比数列，
，
不满足成等比数列，故C错误；
D、设等差数列的公差为，首项是，，
，
，
因此，则成等差数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用与的关系判断即可判断A；利用特值法即可判断B；利用特值法即可判断C；根据等差数列公式即可判断D.
10．（2024高二下·顺德月考）已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A．的单调递增区间为
B．
C．若，则
D．若，，，，，，则最大
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
当，解得；当，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故A正确；
因为的单调性，可得，∴，故B不正确；
当时，；当时，，
由的单调区间，可画出函数的简图如下：
由，，可知，，
因为在上单调递减，可知，
故．
因为在上单调递增，所以，
综上所述，，故C正确；
因为，由指数函数单调性可知，，，；
由幂函数单调性可知，，，即有，，
故这6个数的最大数在与之中，
由及的单调性，得出，即，
由，可得，即，所以，
综上所述，6个数中最大数是，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用导数判断出函数的单调性，从而求出函数的单调区间，再结合函数的单调性判断选项A、选项B和选项C；再结合指数函数和幂函数的性质，则判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·顺德月考）国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为米 高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面 底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是（　　）
A．
B．的最大值为
C．当时，
D．当时，有最小值，最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，所以，
由，得，解得，所以，故选项A不正确；
易知随的增大而减小，所以当时，取得最大值，且最大值，故选项B正确；
因为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积，
又因为圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
所以总费用为
，
当时，，故选项C正确；
因为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，当时，取得最小值，最小值为，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和圆锥、圆柱的体积公式结合求和法，从而得出组合体的体积，进而得出r的取值范围，则判断出选项A；利用已知条件和圆柱、圆锥的侧面积公式以及圆柱的底面积公式，从而得出总费用，进而得出的最大值，则判断出选项B；利用r的值和代入法判断出选项C；利用r的值和求导的方法判断出函数的单调性，从而得出函数的最小值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高二下·顺德月考）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d=　 　．
【答案】2
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），化为d2﹣d﹣2=0，解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．则d=2成立．
故答案为：2．
【分析】由等差数列和等比数列的定义可求得。
13．（2024高二下·顺德月考）已知函数，曲线在点处的切线垂直于直线，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为，则，所以，
因为直线的斜率为，
曲线在点处的切线垂直于直线，
所以，，解得.
故答案为：.
【分析】先求导函数，代入求出的值，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出实数的值.
14．（2024高二下·顺德月考）已知函数，则时，的最小值为　 　，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，此时函数在上单调递增，
所以此时函数的最小值为，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以函数的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为，
则函数的图象如图所示：
令，则由，得，
因为函数有6个零点，所以有两个解，
所以且满足，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出当时的函数的最小值，令，则有两个解，则且或有3个零点，从而求出实数的取值范围.
15．（2024高二下·顺德月考）已知函数在处取得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）解：因为
令得或，
当时，令得或；令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符合；
当时，即当时，
令得或；令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
所以.
（2）解：由（1）得，，
令，得，函数单调递增；
令，得，函数单调递减，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，令求出的值，再代入的值验证是否符合题意，即可得出实数a的值.
（2）先求导，从而确定函数在区间上的单调性，进而得出函数在区间上的最大值.
（1）由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）由（1）得，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
16．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列 前 项和为 ( )，数列 是等比数列， ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ( )，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ；
（2）由（1）知， ，
∴ ，
∴
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而解方程组求出等差数列的公差和等比数列的公比，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而求出数列 和 的通项公式。
（2） 由（1）知， ， 再结合 ，从而求出数列 的通项公式，再利用分组求和的方法结合裂项相消的方法和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项的和 。
17．（2024高二下·顺德月考）已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，数列满足．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，，
又因为数列各项均不为零，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
，
两式相减可得，，则
.
（2）解：由（1）可知，，
设，
当时，数列的前项和为21，
当，数列的前项和为：
，
设，
，
两式相减得，
，
解得：，
所以，，
当时，，
所以.
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）先利用数列与的关系求得，赋值求出的值，再利用当时，，即可得出的值.
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求出数列的前n项和.
（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．
当时，，所以，
当时，，所以，
，两式相减可得，，
∴
；
（2）由（1）可知，，
设，
当时，数列的前项和为21，
当，数列的前项和为，
设
，
两式相减得，
，
解得：，
所以，，
当时，
所以.
18．（2024高二下·顺德月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当，证明：.
【答案】（1）解：函数定义域为，
求导可得，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
所以，
所以恒成立，
则原命题得证，即：当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，求导，分和判断导数的正负，判断函数的单调性，从而求其单调区间即可；
（2）要证明原不等式，只需，而由（1）再构造函数，利用导数可得函数的单调性，并求其最值，即可证明.
（1）定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，
所以，
所以恒成立，
∴原命题得证.，即：当时，.
19．（2024高二下·顺德月考）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
（1）数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由
（2）数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．
【答案】（1）解：不是等差数列；是等差数列.
理由如下：
因为，所以，
又因为，，，
故，，
显然，
所以不是等差数列，
因为
则，，
所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）解：因为数列是以1为公差的等差数列，，
所以，故，
所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，
且对任意的，都存在，使得，
即，
所以，因为，所以.
①若，则，解得（舍去）或，
即当时，对任意的，都存在，使得；
②若，则，
即对任意的，不存在，使得，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）利用新定义结合等差数列的定义和等差数列的性质，从而判断出数列，是否为等差数列，并说明理由.
（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质进行分类讨论，再根据已知条件得出实数a的值.
（1）不是等差数列；是等差数列；理由如下：
因为，所以，
因为，，，
故，，
显然，
所以不是等差数列；
因为，
则，，
所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）因为数列是以1为公差的等差数列，，
所以，故，
所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，
且对任意的，都存在，使得，即，
所以，因为，所以，
①若，则，解得（舍去）或，
即当时，对任意的，都存在，使得；
②若，则，
即对任意的，不存在，使得；
综上所述，.
1 / 1广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
1．（2024高二下·顺德月考）已知函数，则在处的导数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·顺德月考）已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则（　　）
A．7 B．9 C．15 D．20
4．（2024高二下·顺德月考）设为数列的前项和，若，则（　　）
A．1012 B．2024 C． D．
5．（2024高二下·顺德月考）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·顺德月考）已知数列为等比数列，是函数的极值点，设等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．或 B． C． D．2
7．（2024高二下·顺德月考）已知函数，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·顺德月考）已知函数，，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·顺德月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（　　）
A．若数列的前项和，则数列为等比数列
B．若的前项和，则数列为等差数列
C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D．若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
10．（2024高二下·顺德月考）已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A．的单调递增区间为
B．
C．若，则
D．若，，，，，，则最大
11．（2024高二下·顺德月考）国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为米 高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面 底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是（　　）
A．
B．的最大值为
C．当时，
D．当时，有最小值，最小值为
12．（2024高二下·顺德月考）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d=　 　．
13．（2024高二下·顺德月考）已知函数，曲线在点处的切线垂直于直线，则实数的值为　 　．
14．（2024高二下·顺德月考）已知函数，则时，的最小值为　 　，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是　 　.
15．（2024高二下·顺德月考）已知函数在处取得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
16．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列 前 项和为 ( )，数列 是等比数列， ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
17．（2024高二下·顺德月考）已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，数列满足．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
18．（2024高二下·顺德月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当，证明：.
19．（2024高二下·顺德月考）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
（1）数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由
（2）数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由已知条件可得，
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】对求导，再将代入函数解析式中求出的值.
2．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由已知条件易知.
故答案为：A.
【分析】利用等差数列下标和进行转化，再构造出等差数列前项和的形式，从而求出的值.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意得出，又因为，
当时，，故舍去；
当时，因为，则，
化简得，即且，，
故.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法，再结合等比数列的求和公式，从而得出正项等比数列前4项的和.
4．【答案】A
【知识点】数列的求和；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期，
又因为，
则，，，
，，，，，，
所以，且，
所以
.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的周期性和数列的通项公式，从而列出数列的前几项，即可得到规律，再利用并项求和法得出的值.
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图可知，当时，单调递减，，由此排除选项B和选项D；
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除选项C；所以选项A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象、导数判断函数的单调性的方法，从而找出导函数的图象.
6．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由得，
由题意可知是的两个实数根，
所以又，
所以，因此.
故答案为：C.
【分析】根据函数的极值点的定义可得是的两个实数根，再由韦达定理和等比数列的性质，则根据等差数列前n项和公式得出的值.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，
，为奇函数，
则，
，，
，为减函数，
又，
则，
，
或.
故答案为：C
【分析】利用函数奇偶性的定义可得为奇函数，再利用导函数可得为减函数 ，利用函数单调性即可求解.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则，所以，
令，则，
令，函数单调递减；
令，函数单调递增，
所以，
即的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，设，则，再利用导数判断出函数的单调性，从而求出的值，进而得出的最小值.
9．【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、 若数列的前项和， 当时，，
当时，
取时，，满足上式，则数列的通项公式为
则数列为等比数列，故A正确；
B、，
，不满足数列为等差数列，故B错误；
C、当时，为等比数列，
，
不满足成等比数列，故C错误；
D、设等差数列的公差为，首项是，，
，
，
因此，则成等差数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用与的关系判断即可判断A；利用特值法即可判断B；利用特值法即可判断C；根据等差数列公式即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
当，解得；当，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故A正确；
因为的单调性，可得，∴，故B不正确；
当时，；当时，，
由的单调区间，可画出函数的简图如下：
由，，可知，，
因为在上单调递减，可知，
故．
因为在上单调递增，所以，
综上所述，，故C正确；
因为，由指数函数单调性可知，，，；
由幂函数单调性可知，，，即有，，
故这6个数的最大数在与之中，
由及的单调性，得出，即，
由，可得，即，所以，
综上所述，6个数中最大数是，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用导数判断出函数的单调性，从而求出函数的单调区间，再结合函数的单调性判断选项A、选项B和选项C；再结合指数函数和幂函数的性质，则判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可得，所以，
由，得，解得，所以，故选项A不正确；
易知随的增大而减小，所以当时，取得最大值，且最大值，故选项B正确；
因为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积，
又因为圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
所以总费用为
，
当时，，故选项C正确；
因为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，当时，取得最小值，最小值为，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和圆锥、圆柱的体积公式结合求和法，从而得出组合体的体积，进而得出r的取值范围，则判断出选项A；利用已知条件和圆柱、圆锥的侧面积公式以及圆柱的底面积公式，从而得出总费用，进而得出的最大值，则判断出选项B；利用r的值和代入法判断出选项C；利用r的值和求导的方法判断出函数的单调性，从而得出函数的最小值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），化为d2﹣d﹣2=0，解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．则d=2成立．
故答案为：2．
【分析】由等差数列和等比数列的定义可求得。
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为，则，所以，
因为直线的斜率为，
曲线在点处的切线垂直于直线，
所以，，解得.
故答案为：.
【分析】先求导函数，代入求出的值，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出实数的值.
14．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，此时函数在上单调递增，
所以此时函数的最小值为，
当时，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以函数的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为，
则函数的图象如图所示：
令，则由，得，
因为函数有6个零点，所以有两个解，
所以且满足，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出当时的函数的最小值，令，则有两个解，则且或有3个零点，从而求出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为
令得或，
当时，令得或；令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符合；
当时，即当时，
令得或；令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意，
所以.
（2）解：由（1）得，，
令，得，函数单调递增；
令，得，函数单调递减，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导，令求出的值，再代入的值验证是否符合题意，即可得出实数a的值.
（2）先求导，从而确定函数在区间上的单调性，进而得出函数在区间上的最大值.
（1）由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）由（1）得，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
16．【答案】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ( )，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ；
（2）由（1）知， ，
∴ ，
∴
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而解方程组求出等差数列的公差和等比数列的公比，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而求出数列 和 的通项公式。
（2） 由（1）知， ， 再结合 ，从而求出数列 的通项公式，再利用分组求和的方法结合裂项相消的方法和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项的和 。
17．【答案】（1）解：因为，，
又因为数列各项均不为零，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
，
两式相减可得，，则
.
（2）解：由（1）可知，，
设，
当时，数列的前项和为21，
当，数列的前项和为：
，
设，
，
两式相减得，
，
解得：，
所以，，
当时，，
所以.
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）先利用数列与的关系求得，赋值求出的值，再利用当时，，即可得出的值.
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求出数列的前n项和.
（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．
当时，，所以，
当时，，所以，
，两式相减可得，，
∴
；
（2）由（1）可知，，
设，
当时，数列的前项和为21，
当，数列的前项和为，
设
，
两式相减得，
，
解得：，
所以，，
当时，
所以.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，
求导可得，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
所以，
所以恒成立，
则原命题得证，即：当时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，求导，分和判断导数的正负，判断函数的单调性，从而求其单调区间即可；
（2）要证明原不等式，只需，而由（1）再构造函数，利用导数可得函数的单调性，并求其最值，即可证明.
（1）定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
要证，只需证，
即证恒成立.
令，则恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，
所以，
所以恒成立，
∴原命题得证.，即：当时，.
19．【答案】（1）解：不是等差数列；是等差数列.
理由如下：
因为，所以，
又因为，，，
故，，
显然，
所以不是等差数列，
因为
则，，
所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）解：因为数列是以1为公差的等差数列，，
所以，故，
所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，
且对任意的，都存在，使得，
即，
所以，因为，所以.
①若，则，解得（舍去）或，
即当时，对任意的，都存在，使得；
②若，则，
即对任意的，不存在，使得，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【分析】（1）利用新定义结合等差数列的定义和等差数列的性质，从而判断出数列，是否为等差数列，并说明理由.
（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质进行分类讨论，再根据已知条件得出实数a的值.
（1）不是等差数列；是等差数列；理由如下：
因为，所以，
因为，，，
故，，
显然，
所以不是等差数列；
因为，
则，，
所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）因为数列是以1为公差的等差数列，，
所以，故，
所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，
且对任意的，都存在，使得，即，
所以，因为，所以，
①若，则，解得（舍去）或，
即当时，对任意的，都存在，使得；
②若，则，
即对任意的，不存在，使得；
综上所述，.
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