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广东省深圳市龙岗区2024-2025学年2月校联考九年级中考一模数学试卷
1．（2025·龙岗模拟）“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·龙岗模拟）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
3．（2025·龙岗模拟）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙岗模拟）在中，，那么的值是（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2025·龙岗模拟）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（　　）
A．两组对边平行 B．四条边相等
C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等
6．（2025·龙岗模拟）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·龙岗模拟）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（　　）
A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形
B．
C．蜡烛火焰长
D．线段的中点与线段的中点的连线不一定经过点O
8．（2025·龙岗模拟）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·龙岗模拟）若，其中，则的值为　 　．
10．（2025·龙岗模拟）一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有　 　个．
11．（2025·龙岗模拟）已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：　 　
12．（2025·龙岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x 轴正半轴上和 y轴正半轴上，反比例函数上 的图像经过的中点D，若矩形的面积为12，则k 的值为　 　．
13．（2025·龙岗模拟）如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为　 　．
14．（2025·龙岗模拟）计算：
15．（2025·龙岗模拟）（1）解方程：
（2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下：
第一步：，，，
第二步：
第三步：当（即）时，；当时方程无解
你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________．
你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________．
16．（2025·龙岗模拟）深圳市某学校为了贯彻落实党的相关精神，引导全体师生了解和掌握社会主义核心价值观的基本内容和实践要求，更加深入地理解社会主义核心价值观的内涵，增强对国家、社会和公民个人层面价值观念的认同感，特意举办了社会主义核心价值观知识竞赛．以下是社会主义核心价值观的具体内容
国家层面：富强、民主、文明、和谐；
社会层面：自由、平等、公正、法治；
个人层面：爱国、敬业、诚信、友善．
（1）初赛时，小军同学从会主义核心价值观十二个方面的知识中随机抽取了其中一个方面的知识，恰好抽中“富强”的概率为________．
（2）复赛时，抽签只分为三大类：国家层面（A）、社会层面（B）、个人层面（C）．小军同学抽签后，把签放回去，重新洗均匀，小刚同学再抽签，利用画树状图或列表的方法求两人抽到相同的签的概率．
17．（2025·龙岗模拟）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
18．（2025·龙岗模拟）九年级的茗茗同学在春节放假期间参加社会实践活动，参加了街道的盆栽售卖活动，某种年橘盆栽的进价为每盆40元，售价为每盆50元，由于正值春节假期，顾客较多，每天可卖出220盆，经调查发现，如果每盆年橘的售价每上涨1元，则每天少卖10盆．
（1）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天的销售利润为2520元？
（2）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
19．（2025·龙岗模拟）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）
（1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长；
（2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长；
（3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题：
①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）；
②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由．
20．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，．
（1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______
（2）当时，请回答下列问题：
①如图（），求的值；
②如图（），若平分时，求的值；
③如图（），若时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图是从从正面看到的图形，从从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形组成.
故答案为：A．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据成比例线段的意义，列出比例式，转化为关于c的方程求解．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形内角和定理，得么关于∠C的方程求解，再求其正弦值．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等．
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质，证明OC=OD，再结合作法证明四边形OCED的四条边相等，再判定它是菱形，然后作出判断．
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴点D为的中点，
∵米，
∴米，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形三线合一，证得D为的中点，根据AC的长求得AD，再利用锐角三角函数求得BD．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用；位似图形的概念
【解析】【解答】解：蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A选项正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项正确；
∴，
∴，
解得：，
∴蜡烛火焰长，故C选项正确；
线段的中点与线段的中点的连线一定经过点O，故D选项错误．
故答案为：D．
【分析】(1)利用位似图形的意义求解；
（2）先根据平行线的性质证明，再证明，
（3）列出比例式，求出AB即可解答；
（4）根据相似三角形的性质求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：对于一次函数，
当时，，
解得：，
∵二次函数的图像与轴分别交于点，，
当时，，
解得：或，
∴，，
∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，，
∴，
解得：或，
∴，
∴，
∴=．
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标．
9．【答案】10
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10．
【分析】先比例的性质求出b+d，再整体代入求值．
10．【答案】8
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设袋子中白球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中白球约有8个，
故答案为：8．
【分析】先用频率估计概率，列出分式方程求解，求得袋子中白球的个数．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵点，在二次函数的图像上，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据横坐标，代入二次函数解析式，求得两纵坐标的差的，根据差的符号，再比较纵坐标的大小．
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：点D是的中点，四边形是矩形，
设点，则，
矩形的面积为12，
解得：.
故答案为：．
【分析】先设出D、B两点的坐标，再根据矩形的面积为12，列出方程求得k．
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过作交直线于，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
解得：.
故答案为：．
【分析】由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
14．【答案】解：
．

【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊三角函数值，再进行实数运算．
15．【答案】解：（1），
∵，
∴，
，；
（2）没有考虑的情况；当时，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑二次项系数的范围，的情况；
在上述解题过程中应该增加的一个步骤是：当时，方程.
解得：；
故答案为：没有考虑的情况；当时，．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程；
（2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件求解．
16．【答案】（1）解：恰好抽中“富强”的概率为：，
故答案为：；
（2）解：树状图如图
由图可知共有9种等可能的情况，两个人抽到相同签情况共有3种，
．
答：两个人抽到相同签的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）先画出树状图，求出所有9种等可能的结果，再找出两人抽到相同的结果数，然后根据概率公式计算．
（1）解：恰好抽中“富强”的概率为：，
故答案为：；
（2）解：树状图如图
由图可知共有9种等可能的情况，两个人抽到相同签情况共有3种，
．
答：两个人抽到相同签的概率为．
17．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为菱形.
（2）解：，
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解．
（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2），
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
18．【答案】（1）解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），
则销售量为件，
可列方程：
解得：或
答：每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元；
（2）解：设每个月的销售利润为元
则，
，
当时，有最大值，最大值为2560元．
答：每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件商品的售价上涨元（为正整数），可用x表示出销售量，再根据“ 每天的销售利润为2520元 ”列出一元二次方程求解；
（2）设每个月的销售利润为元，根据“ 每天的销售利润为2520元 ”列出二次函数的性质求解．
（1）解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），则销售量为件
根据题意得，
解得：或
答：每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元；
（2）解：设每个月的销售利润为元
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值为2560元．
答：每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元．
19．【答案】（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
∵，
，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点N．
（2）先证得，，再列出比例式，，分别求出和，最后根据代入计算即可．
（3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，然后列出比例式求出，
根据，计算求得．
（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
由（2）可知，，
，，
即，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
②方法一：同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
方法二：
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：（2）①过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴；
②将延长交延长线于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
③延长与延长线交于点，过作于点，设，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴.
∴，
∴
∴．
∵四边项是菱形，
∴，
∴
∴
∴即
∴
∴
解得，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
1 / 1广东省深圳市龙岗区2024-2025学年2月校联考九年级中考一模数学试卷
1．（2025·龙岗模拟）“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图是从从正面看到的图形，从从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形组成.
故答案为：A．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
2．（2025·龙岗模拟）一元二次方程的根为（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
3．（2025·龙岗模拟）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据成比例线段的意义，列出比例式，转化为关于c的方程求解．
4．（2025·龙岗模拟）在中，，那么的值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形内角和定理，得么关于∠C的方程求解，再求其正弦值．
5．（2025·龙岗模拟）数学活动课上，已知四边形为平行四边形，对角线相交于点，小颖同学利用尺规按如下步骤操作：①以为圆心，以长为半径画弧；②以为圆心，以长为半径画弧；两弧交于点，分别连接，．小颖认为：若，则四边形是菱形，她判定四边形为菱形的依据是（　　）
A．两组对边平行 B．四条边相等
C．对角线互相垂直且平分 D．两组对边相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴她判定四边形为菱形的依据是四条边相等．
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质，证明OC=OD，再结合作法证明四边形OCED的四条边相等，再判定它是菱形，然后作出判断．
6．（2025·龙岗模拟）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴点D为的中点，
∵米，
∴米，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形三线合一，证得D为的中点，根据AC的长求得AD，再利用锐角三角函数求得BD．
7．（2025·龙岗模拟）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（　　）
A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形
B．
C．蜡烛火焰长
D．线段的中点与线段的中点的连线不一定经过点O
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用；位似图形的概念
【解析】【解答】解：蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A选项正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项正确；
∴，
∴，
解得：，
∴蜡烛火焰长，故C选项正确；
线段的中点与线段的中点的连线一定经过点O，故D选项错误．
故答案为：D．
【分析】(1)利用位似图形的意义求解；
（2）先根据平行线的性质证明，再证明，
（3）列出比例式，求出AB即可解答；
（4）根据相似三角形的性质求解.
8．（2025·龙岗模拟）已知二次函数的图像与轴分别交于点，，与一次函数的图像分别交于点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：对于一次函数，
当时，，
解得：，
∵二次函数的图像与轴分别交于点，，
当时，，
解得：或，
∴，，
∵二次函数的图像与一次函数的图像分别交于点，，
∴，
解得：或，
∴，
∴，
∴=．
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，令，求出点，的坐标，再由二次函数与一次函数的解析式联立方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可．解题的关键是求出，，三点的坐标．
9．（2025·龙岗模拟）若，其中，则的值为　 　．
【答案】10
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10．
【分析】先比例的性质求出b+d，再整体代入求值．
10．（2025·龙岗模拟）一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有　 　个．
【答案】8
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设袋子中白球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中白球约有8个，
故答案为：8．
【分析】先用频率估计概率，列出分式方程求解，求得袋子中白球的个数．
11．（2025·龙岗模拟）已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：　 　
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵点，在二次函数的图像上，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据横坐标，代入二次函数解析式，求得两纵坐标的差的，根据差的符号，再比较纵坐标的大小．
12．（2025·龙岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x 轴正半轴上和 y轴正半轴上，反比例函数上 的图像经过的中点D，若矩形的面积为12，则k 的值为　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：点D是的中点，四边形是矩形，
设点，则，
矩形的面积为12，
解得：.
故答案为：．
【分析】先设出D、B两点的坐标，再根据矩形的面积为12，列出方程求得k．
13．（2025·龙岗模拟）如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过作交直线于，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
解得：.
故答案为：．
【分析】由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
14．（2025·龙岗模拟）计算：
【答案】解：
．

【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊三角函数值，再进行实数运算．
15．（2025·龙岗模拟）（1）解方程：
（2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下：
第一步：，，，
第二步：
第三步：当（即）时，；当时方程无解
你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________．
你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________．
【答案】解：（1），
∵，
∴，
，；
（2）没有考虑的情况；当时，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑二次项系数的范围，的情况；
在上述解题过程中应该增加的一个步骤是：当时，方程.
解得：；
故答案为：没有考虑的情况；当时，．
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程；
（2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件求解．
16．（2025·龙岗模拟）深圳市某学校为了贯彻落实党的相关精神，引导全体师生了解和掌握社会主义核心价值观的基本内容和实践要求，更加深入地理解社会主义核心价值观的内涵，增强对国家、社会和公民个人层面价值观念的认同感，特意举办了社会主义核心价值观知识竞赛．以下是社会主义核心价值观的具体内容
国家层面：富强、民主、文明、和谐；
社会层面：自由、平等、公正、法治；
个人层面：爱国、敬业、诚信、友善．
（1）初赛时，小军同学从会主义核心价值观十二个方面的知识中随机抽取了其中一个方面的知识，恰好抽中“富强”的概率为________．
（2）复赛时，抽签只分为三大类：国家层面（A）、社会层面（B）、个人层面（C）．小军同学抽签后，把签放回去，重新洗均匀，小刚同学再抽签，利用画树状图或列表的方法求两人抽到相同的签的概率．
【答案】（1）解：恰好抽中“富强”的概率为：，
故答案为：；
（2）解：树状图如图
由图可知共有9种等可能的情况，两个人抽到相同签情况共有3种，
．
答：两个人抽到相同签的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）先画出树状图，求出所有9种等可能的结果，再找出两人抽到相同的结果数，然后根据概率公式计算．
（1）解：恰好抽中“富强”的概率为：，
故答案为：；
（2）解：树状图如图
由图可知共有9种等可能的情况，两个人抽到相同签情况共有3种，
．
答：两个人抽到相同签的概率为．
17．（2025·龙岗模拟）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为菱形.
（2）解：，
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解．
（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2），
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
18．（2025·龙岗模拟）九年级的茗茗同学在春节放假期间参加社会实践活动，参加了街道的盆栽售卖活动，某种年橘盆栽的进价为每盆40元，售价为每盆50元，由于正值春节假期，顾客较多，每天可卖出220盆，经调查发现，如果每盆年橘的售价每上涨1元，则每天少卖10盆．
（1）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天的销售利润为2520元？
（2）每盆年橘的售价上涨多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），
则销售量为件，
可列方程：
解得：或
答：每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元；
（2）解：设每个月的销售利润为元
则，
，
当时，有最大值，最大值为2560元．
答：每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件商品的售价上涨元（为正整数），可用x表示出销售量，再根据“ 每天的销售利润为2520元 ”列出一元二次方程求解；
（2）设每个月的销售利润为元，根据“ 每天的销售利润为2520元 ”列出二次函数的性质求解．
（1）解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），则销售量为件
根据题意得，
解得：或
答：每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元；
（2）解：设每个月的销售利润为元
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值为2560元．
答：每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元．
19．（2025·龙岗模拟）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）
（1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长；
（2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长；
（3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题：
①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）；
②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
∵，
，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点N．
（2）先证得，，再列出比例式，，分别求出和，最后根据代入计算即可．
（3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，然后列出比例式求出，
根据，计算求得．
（1）解：图中线段为所求．
（2）解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
（3）解：①根据题意画出图形：
设，
由（2）可知，，
，，
即，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
②方法一：同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
方法二：
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
∴．
20．（2025·龙岗模拟）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，．
（1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______
（2）当时，请回答下列问题：
①如图（），求的值；
②如图（），若平分时，求的值；
③如图（），若时，求的值．
【答案】（1）
（2）解：（2）①过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴；
②将延长交延长线于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
③延长与延长线交于点，过作于点，设，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴.
∴，
∴
∴．
∵四边项是菱形，
∴，
∴
∴
∴即
∴
∴
解得，
∵，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
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