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广东省清远市阳山县2023—2024 学年下学期期末质检八年级数学试卷
1．（2024八下·阳山期末）下列图形中，是中心对称的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·阳山期末）若成立，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·阳山期末）分式有意义，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·阳山期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八下·阳山期末）下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·阳山期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(　　)
A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形
7．（2024八下·阳山期末）如图，在中，，，，则与间的距离为（　　）
A．5 B．10 C． D．26
8．（2024八下·阳山期末）已知，，那么代数式的值为（　　）
A．7 B．10 C．17 D．70
9．（2024八下·阳山期末）已知关于x的方程 有增根，则a的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
10．（2024八下·阳山期末）如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·阳山期末）因式分解：　 　．
12．（2024八下·阳山期末）七边形内角和的度数是　 　．
13．（2024八下·阳山期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为：　 　．
14．（2024八下·阳山期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长　 　．
15．（2024八下·阳山期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是　 　．
16．（2024八下·阳山期末）（1）解不等式组：．
（2）解方程：．
17．（2024八下·阳山期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2024八下·阳山期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
（1）请你作出平移后的图形；
（2）线段与的关系是：______
19．（2024八下·阳山期末）如图，在中，．
（1）作的内角的平分线，与边交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
20．（2024八下·阳山期末）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
21．（2024八下·阳山期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如果，，，求的长．
22．（2024八下·阳山期末）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求不等式的解集；
（3）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
23．（2024八下·阳山期末）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点；根据定义即可解答.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，故该选项不正确，A不符合题意；
B、由，得，故该选项不正确，B不符合题意；
C、由，得，故该选项正确，C符合题意；
D、由，得，故该选项不正确，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据不等式的性质： 性质1，当两边同加或减同一个数时，不等号方向不变； 性质2，当两边同乘或除以一个正数时，不等号方向不变 ； 性质3，当两边同乘或除以一个负数时，不等号方向改变；解答即可.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，，
∴
故答案为：B．
【分析】
根据分式有意义的条件可得，即可求解．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、，，不能判定四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故C符合题意；
D、，，不能判定四边形为平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的判定： 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等 ； 两组对角分别相等；两组对边分别平行；满足上述条件之一的四边形是平行四边形；逐项分析判断，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、原式不是多项式，因而不是因式分解，故A不符合题意；
B、，结果不是乘积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C、，是因式分解，故C符合题意；
D、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；逐一判断即可求解.
6．【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是，，能镶嵌，故A不符合题意；
B、正方形的每个内角是，，能镶嵌，故B不符合题意；
C、正三角形的每个内角是，，能镶嵌，故C不符合题意；
D、正五边形的每个内角是，不能镶嵌，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据平面镶嵌(密铺)：只需满足拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能；逐一判断判断即可解答．
7．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴与互相平分，
又∵，
∴，
∵
∴在中，，
∴，
∴与间的距离为10；
故答案为：B．
【分析】
根据平行四边形的性质可得与互相平分，推得，由根据勾股定理求得，即可得到，即可解答．
8．【答案】D
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据因式分解，再结合已知条件整体代入求值，即可解答．
9．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故答案为：D．
【分析】先将最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，吧增根代入整式方程即可求出相关字母的值。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴D()，即为（）
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】
连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，由平行四边形的性质得，根据中点坐标公式计算得D（）从而可求得，再利用旋转得性质证明，利用全等三角形的性质得到，，即可解答．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】900°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形内角和的度数是，
故答案为：900°．
【分析】根据多边形内角和公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由图可得：关于x的不等式的解集是：
故答案为：．
【分析】
观察数轴，我们看到从点2开始，向左延伸，点2本身是包含在解集中， 即可根据在数轴上表示不等式解集的方法解答．
14．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵恰为等边三角形，
∴
由四边形为平行四边形：，BFDC
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，A，B三点在同一条直线上，
∵是对折线，
∴垂直且平分，
∴，
过点C作，
则有，
∵，
∴，
∴，
∴折叠重合部分的面积是．
故答案为：．
【分析】
根据四边形ABCD为平行四边形，故AB=CD=4cm，AD∥BC；折叠后△CDE为等边三角形，因此DE=CD=CE=4cm，∠D=∠DEC=60° ，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，利用勾股定理求边上的高，再利用面积公式计算即可解答．
16．【答案】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
（2），
∴，
∴
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）先解不等式①得：，解不等式②得：，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，即可确定不等式组的解集；
（2）先去分母，化为整式方程，解方程可得x得值，再检验，即可求解．
17．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的通分；分式的乘除法；分式的混合运算；分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据分式的化简求值：括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分计算即可化简得，再代入数据计算即可得出答案．
18．【答案】（1）解：如图，△DEF为所作；
；
（2）平行且相等
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）线段与的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】
（1）根据图形平移的基本要素有两个：平移方向、平移距离；只需利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可解答；
（2）根据平移的性质：平移前后对应点的连线平行且相等，进行判断即可．
（1）解：如图，△DEF为所作；
；
（2）解：线段与的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
19．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求．
；
（2）解：∵，，
∴．
由（1）知，是的平分线，
∴．
在中，
∵，
∴．
由勾股定理得，
∵，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）以点为圆心，小于的任意长度为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，在内交于一点，作射线交于点，点即为所求；
（2）结合已知条件根据是的平分线即可得到；在中，利用30直角三角形的性质得到AD的值；结合勾股定理求得的长，再利用30直角三角形的性质即可求解．
（1）解：如图所示，点即为所求．
；
（2）解：∵，，
∴．
由（1）知，是的平分线，
∴．
在中，
∵，
∴．
则由勾股定理，得，
∴．
20．【答案】（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
由题得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
由题得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程并检验即可解答；
（2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式，利用m为整数即可解答．
（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
根据题意得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
21．【答案】（1）证明：∵D，E，分别是的中点，
∴，且，
同理可得：，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：作于点G，则，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴由（1）得：，
∴的长是
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可利用一组对边平行且相等的条件证明四边形是平行四边形；
（2）作于点G，因为，可得，由求得，利用勾股定理得，再根据（1）中三角形中位线定理得出得结论即可求解．
（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点，
∴，且，，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：作于点G，则，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的长是．
22．【答案】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）解得：，
∴点D，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，点P的坐标为；
当时，，点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或；
故答案为：或。
【分析】
（1）利用待定系数法把，代入求一次函数解析式解答即可；
（2）计算得出，再根据函数图象直接得出的解集即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式计算，再利用建立关于的方程，计算即可解答．
（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）解：联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为；
当时，，此时点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
23．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）知，，
，
，
，
由题：，，
，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，
，
，
，
；
当点在边的延长线上时，，
，
，
综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形
（3）
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；四边形-动点问题
【解析】【解答】
解：（3）如图，连接交于，
线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
必过的中点O，
，
，
，
在和中，
，
，
由题：，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
故答案为：.
【分析】
（1）利用平行四边形的性质得出即可证明，再利用角平分线的定义得出，等量代换得，利用等角对等边即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出；当点在边上时，建立关系，即可求解；当点在边的延长线上时；建立关系得，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，可得；再利用ASA证明，即可得，建立方程得，计算即可得出结论．

（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
，
依题意，，，
，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，
，
，
，
；
当点在边的延长线上时，，
，
，
综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形
（3）如图，连接交于，
线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
必过的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
依题意，，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
故答案为：
1 / 1广东省清远市阳山县2023—2024 学年下学期期末质检八年级数学试卷
1．（2024八下·阳山期末）下列图形中，是中心对称的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点；根据定义即可解答.
2．（2024八下·阳山期末）若成立，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，故该选项不正确，A不符合题意；
B、由，得，故该选项不正确，B不符合题意；
C、由，得，故该选项正确，C符合题意；
D、由，得，故该选项不正确，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据不等式的性质： 性质1，当两边同加或减同一个数时，不等号方向不变； 性质2，当两边同乘或除以一个正数时，不等号方向不变 ； 性质3，当两边同乘或除以一个负数时，不等号方向改变；解答即可.
3．（2024八下·阳山期末）分式有意义，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，，
∴
故答案为：B．
【分析】
根据分式有意义的条件可得，即可求解．
4．（2024八下·阳山期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形，故A不符合题意；
B、，，不能判定四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故C符合题意；
D、，，不能判定四边形为平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的判定： 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等 ； 两组对角分别相等；两组对边分别平行；满足上述条件之一的四边形是平行四边形；逐项分析判断，即可求解．
5．（2024八下·阳山期末）下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、原式不是多项式，因而不是因式分解，故A不符合题意；
B、，结果不是乘积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C、，是因式分解，故C符合题意；
D、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；逐一判断即可求解.
6．（2024八下·阳山期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是(　　)
A．全等三角形 B．正方形 C．正三角形 D．正五边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A、三角形内角和是，，能镶嵌，故A不符合题意；
B、正方形的每个内角是，，能镶嵌，故B不符合题意；
C、正三角形的每个内角是，，能镶嵌，故C不符合题意；
D、正五边形的每个内角是，不能镶嵌，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据平面镶嵌(密铺)：只需满足拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能；逐一判断判断即可解答．
7．（2024八下·阳山期末）如图，在中，，，，则与间的距离为（　　）
A．5 B．10 C． D．26
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴与互相平分，
又∵，
∴，
∵
∴在中，，
∴，
∴与间的距离为10；
故答案为：B．
【分析】
根据平行四边形的性质可得与互相平分，推得，由根据勾股定理求得，即可得到，即可解答．
8．（2024八下·阳山期末）已知，，那么代数式的值为（　　）
A．7 B．10 C．17 D．70
【答案】D
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据因式分解，再结合已知条件整体代入求值，即可解答．
9．（2024八下·阳山期末）已知关于x的方程 有增根，则a的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故答案为：D．
【分析】先将最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，吧增根代入整式方程即可求出相关字母的值。
10．（2024八下·阳山期末）如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴D()，即为（）
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】
连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，由平行四边形的性质得，根据中点坐标公式计算得D（）从而可求得，再利用旋转得性质证明，利用全等三角形的性质得到，，即可解答．
11．（2024八下·阳山期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．（2024八下·阳山期末）七边形内角和的度数是　 　．
【答案】900°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：七边形内角和的度数是，
故答案为：900°．
【分析】根据多边形内角和公式求解即可。
13．（2024八下·阳山期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为：　 　．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由图可得：关于x的不等式的解集是：
故答案为：．
【分析】
观察数轴，我们看到从点2开始，向左延伸，点2本身是包含在解集中， 即可根据在数轴上表示不等式解集的方法解答．
14．（2024八下·阳山期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长　 　．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2024八下·阳山期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵恰为等边三角形，
∴
由四边形为平行四边形：，BFDC
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，A，B三点在同一条直线上，
∵是对折线，
∴垂直且平分，
∴，
过点C作，
则有，
∵，
∴，
∴，
∴折叠重合部分的面积是．
故答案为：．
【分析】
根据四边形ABCD为平行四边形，故AB=CD=4cm，AD∥BC；折叠后△CDE为等边三角形，因此DE=CD=CE=4cm，∠D=∠DEC=60° ，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，利用勾股定理求边上的高，再利用面积公式计算即可解答．
16．（2024八下·阳山期末）（1）解不等式组：．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
（2），
∴，
∴
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）先解不等式①得：，解不等式②得：，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，即可确定不等式组的解集；
（2）先去分母，化为整式方程，解方程可得x得值，再检验，即可求解．
17．（2024八下·阳山期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的通分；分式的乘除法；分式的混合运算；分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据分式的化简求值：括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分计算即可化简得，再代入数据计算即可得出答案．
18．（2024八下·阳山期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
（1）请你作出平移后的图形；
（2）线段与的关系是：______
【答案】（1）解：如图，△DEF为所作；
；
（2）平行且相等
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）线段与的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】
（1）根据图形平移的基本要素有两个：平移方向、平移距离；只需利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可解答；
（2）根据平移的性质：平移前后对应点的连线平行且相等，进行判断即可．
（1）解：如图，△DEF为所作；
；
（2）解：线段与的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
19．（2024八下·阳山期末）如图，在中，．
（1）作的内角的平分线，与边交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求．
；
（2）解：∵，，
∴．
由（1）知，是的平分线，
∴．
在中，
∵，
∴．
由勾股定理得，
∵，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）以点为圆心，小于的任意长度为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，在内交于一点，作射线交于点，点即为所求；
（2）结合已知条件根据是的平分线即可得到；在中，利用30直角三角形的性质得到AD的值；结合勾股定理求得的长，再利用30直角三角形的性质即可求解．
（1）解：如图所示，点即为所求．
；
（2）解：∵，，
∴．
由（1）知，是的平分线，
∴．
在中，
∵，
∴．
则由勾股定理，得，
∴．
20．（2024八下·阳山期末）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
【答案】（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
由题得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
由题得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程并检验即可解答；
（2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式，利用m为整数即可解答．
（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
根据题意得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
21．（2024八下·阳山期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如果，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵D，E，分别是的中点，
∴，且，
同理可得：，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：作于点G，则，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴由（1）得：，
∴的长是
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可利用一组对边平行且相等的条件证明四边形是平行四边形；
（2）作于点G，因为，可得，由求得，利用勾股定理得，再根据（1）中三角形中位线定理得出得结论即可求解．
（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点，
∴，且，，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：作于点G，则，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的长是．
22．（2024八下·阳山期末）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求不等式的解集；
（3）直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）解得：，
∴点D，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，点P的坐标为；
当时，，点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或；
故答案为：或。
【分析】
（1）利用待定系数法把，代入求一次函数解析式解答即可；
（2）计算得出，再根据函数图象直接得出的解集即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式计算，再利用建立关于的方程，计算即可解答．
（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）解：联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为；
当时，，此时点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
23．（2024八下·阳山期末）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）求的长；
（2）是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）解：存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）知，，
，
，
，
由题：，，
，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，
，
，
，
；
当点在边的延长线上时，，
，
，
综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形
（3）
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；四边形-动点问题
【解析】【解答】
解：（3）如图，连接交于，
线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
必过的中点O，
，
，
，
在和中，
，
，
由题：，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
故答案为：.
【分析】
（1）利用平行四边形的性质得出即可证明，再利用角平分线的定义得出，等量代换得，利用等角对等边即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出；当点在边上时，建立关系，即可求解；当点在边的延长线上时；建立关系得，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，可得；再利用ASA证明，即可得，建立方程得，计算即可得出结论．

（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
，
依题意，，，
，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，
，
，
，
；
当点在边的延长线上时，，
，
，
综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形
（3）如图，连接交于，
线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
必过的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
依题意，，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分，
故答案为：
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