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2025年湖北省黄石市铁山区四校中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．使有意义的的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，，与交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为( )
A．m B．10 m C．m D．m
7．某天小涵同学去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了7分钟，其离家的路程（单位：m）与出行的时间x（单位：）变化关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（ ）
A．仍会迟到2分钟到校 B．刚好按时到校
C．可以提前3分钟到校 D．可以提前2分钟到校
8．如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D，E，连接的延长线交于点F，则的大小是（ ）．

A． B． C． D．
9．已知抛物线（是常数，）经过，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③．其中，错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
10．化简分式：＝ ．
11．若点，都在一次函数图象上，则与的大小关系是 ．
12．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车左拐，另一车右拐的概率是 ．
13．用火柴棍摆出一组如图所示的图形：
按照这种规律摆下去，则第个图形用火柴棍的根数为 （用含的式子表示）．
14．已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.

17．如图，某数学兴趣小组想测量一座塔的高度，他们在广场选择点A处，测得塔顶C的仰角为30°，然后沿着AD的方向前进60m，到达B点，在B处测得塔顶C的仰角为60°．（A、B、D三点在同一条直线上）．请你根据他们的测量数据计算塔CD的高度．（结果精确到整数，）
18．东升学校做了如下表的调查报告（不完整）：
调查项目 1．了解本校学生最喜爱的球类运动项目 2．抽查部分学生最喜爱的球类运动项目的水平
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分学生
调查内容 1．调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选，只选一个） ．篮球 ．乒乓球 ．足球 ．排球 ．羽毛球 2．你最喜爱的球类运动项目的水平……
调查结果 1．被调查学生最喜爱的球类运动的统计图： 2．被抽查的最喜爱篮球运动的学生中有人恰好是学校篮球社团成员，他们定点投篮次，命中的次数分别为：
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)这名篮球社团的学生定点投篮命中次数的中位数是_______，众数是_______；平均数能不能代表全校喜爱篮球的学生定点投篮的平均水平：_______（填“能”或“不能”）；
(3)估计该校名学生中最喜爱篮球运动项目的人数．
19．如图，一次函数的图象与轴交于点A，与反比例函数的图象交于B，C两点．点P是线段上的一个动点．
(1)求点B，C的坐标，并直接与出不等式的解集；
(2)过点P作轴的平行线与反比例函数的图象相交于点D．若的面积为3，求点P的坐标．
20．如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留
21．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
22．【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
23．已知抛物线的顶点在第一象限．
(1)如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．
①求A，B两点的坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标；
(2)如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值．
《2025年湖北省黄石市铁山区四校中考一模数学试题》参考答案
1．B
解：∵，
∴，
故最小的数为，
故选：B．
2．C
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
3．A
解：∵使有意义，
∴，
∴，
则在数轴上表示为，
故选：A．
4．C
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5．C
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
6．B
解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB==，
设BC=4x，AC=5x，
则AB=3x，
则sin∠ACB==；
又∵AB=6m，
∴AC=10m；
故选B．
7．B
解：由图象知，小涵同学骑单车的速度为，
∴若小涵同学开始直接骑单车，前600米所用时间为，
则可节省，
∵先步行一段路后改骑单车，到校时迟到了7分钟，
∴若他出门时直接骑单车（车速不变），则他刚好按时到校，
故选：B．
8．A
解：连接，，，交于点G，
，
，
∵点O为的内切圆的圆心，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
故答案为：A．
9．A
解：①∵抛物线是常数，经过点，
∴，
∴，
∵当时，与其对应的函数值．
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；
③，
，
，
，
，
故③正确；
故选：A．
10．
解：
，
故答案为：．
11．
解：∵，
∴随的增大而减小
∵
∴
故答案为：
12．
画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰好恰好有一车左拐，另一车右拐的结果数为2，
所以恰好恰好有一车左拐，另一车右拐的概率为：．
故答案为：．
13．
解：图中有火柴棍（根），
图中有火柴棍（根），
图中有火柴棍（根），
，
第个图形用火柴棍的根数为，
故答案为：．
14．
解：如图，记的交点为F，设，，则，，，
由翻折的性质可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
15．
解：
．
16．证明见解析.
∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，
∴AD+DF=CB+BE，
即AF=CE，
在△CEH和△AFG中，
，
∴△CEH≌△AFG，
∴CH=AG.
17．52m
解：∵，，
∴，
∴
在中，∵，，
∴，解得．
答：塔CD的高度是52m．
18．(1)，见解析；
(2)、、不能；
(3)人．
（1）本次调查共抽查了（人），
羽毛球人数为：（人），
篮球人数为：（人），
补全条形统计图如图所示；
故答案为：；
（2）由统计图可知，这名篮球社团的学生定点投篮命中次数的中位数是，众数是，
平均数能不能代表全校喜爱篮球的学生定点投篮的平均水平
故答案为：，、不能；
（3）∵被抽查的人中最喜爱羽毛球的人数为：（名），
∴被抽查的人中最喜爱篮球的人数为：（名），（名），
答：估计该校名初中生中最喜爱篮球项目的人数为人．
19．(1),，或
(2)或
（1）解：联立方程组，解得，，
∴,，
根据图象，当或时，反比例函数值小于一次函数值，
故不等式的解集为或；
（2）解：根据题意，设，则，
∴，
整理得，
解得，，
∴点P的坐标为或．
20．(1)见详解
(2)
（1）证明：过点作于点，如图，
与相切于点，
，
平分，是半径，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
在中，，
，
．
21．(1)解析式，自变量x的取值范围为：
(2)能，说明见解析
(3)20米
（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点，
∴点，顶点，
设抛物线的解析式为．
把点，点代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
，，
自变量x的取值范围为：；
（2）解：当时，，
能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆．
（3）解：设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则
∴
∵，
∴当时，l有最大值为．
答：三根木杆的长度和的最大值是米．
22．(1)
(2)成立；理由见解析
(3)或
（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．

（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
23．(1)①，；②点D为；
(2)的最大值是．
（1）解：当时，抛物线的解析式为，
①当时，，解得，，
∴，．
②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，如图所示：
由题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴点E为的中点，由，，点E的坐标为，
求得的解析式为，
由，得，
解得，（舍去），
∴点D为；
（2）解：过点N作轴，垂足为H，
∵P是抛物线对称轴与x轴的交点，
∴，
∵T是x轴负半轴上一点，
∴设．
∵，且，
∴，，
两式相加，得，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理为关于m的方程为，
由题意，得，
解得，
此时关于m的方程的两根之和，
当时，m必有正根，
∴的最大值是．

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