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广东省惠州市第一中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2024八下·惠州期末）二次根式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·惠州期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·惠州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
4．（2024八下·惠州期末）气象局调查了甲、乙、丙、丁四个城市连续四年的降水量，它们的平均降水量都是毫米，方差分别是，，，，则这四个城市年降水量最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2024八下·惠州期末）对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象过点 B．y值随着x值的增大而增大
C．函数的图象经过第三象限 D．当时，
6．（2024八下·惠州期末）若是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·惠州期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　　）
A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
8．（2024八下·惠州期末）如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·惠州期末）如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·惠州期末）如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：
①函数的随的增大而增大；
②函数不经过第二象限；
③不等式的解集是；
④．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八下·惠州期末）将化成最简二次根式为　 　．
12．（2024八下·惠州期末）方程的解是　 　.
13．（2024八下·惠州期末）如图，在矩形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点．，，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段　 　．
14．（2024八下·惠州期末）每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为　 　．
15．（2024八下·惠州期末）已知点，，将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，则的取范围是　 　．
16．（2024八下·惠州期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是　 　．
三、解答题：本大题共9小题，共72分．
17．（2024八下·惠州期末）计算：．
18．（2024八下·惠州期末）解一元二次方程：．
19．（2024八下·惠州期末）如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F．
（1）求证：四边形是矩形
（2）如果设，求的长．
20．（2024八下·惠州期末）如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
21．（2024八下·惠州期末）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦
小涵 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
22．（2024八下·惠州期末）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小垣用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：
(1)根据表中数据的规律，补全以下表格，并求出y关于x的函数表达式；
单层部分的长度x(cm) … 4 6 8 10 … 150
双层部分的长度y(cm) … 73 72 71 ______ … ______
(2)根据小垣的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度.
23．（2024八下·惠州期末）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为.
（1）求道路的宽是多少米
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民
24．（2024八下·惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
（3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
25．（2024八下·惠州期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【性质探究】
如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ；
【问题解决】
如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】
如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，
（1）试探索与的数量关系，并说明理由．
（2）若，则的最小值是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A. 对角线相等，只有矩形、正方形具有，此选项错误；
B. 对角线互相平分，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质，此选项正确；
C. 对角线平分一组对角，平行四边形不一定具有，此选项错误；
D. 对角线互相垂直，平行四边形、矩形不一定具有，此选项错误；
故答案为：B.
【分析】分别利用菱形，矩形，正方形，平行四边形的对角线的性质，对各选项逐一判断.
4．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，，，
，
丁的方差最小，最稳定，
故答案为：D．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点，说法错误，不符合题意；
B、因为函数，所以随的增大而减小，说法错误，不符合题意；
C、因为函数解析式与轴的交点，与轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限，说法错误，不符合题意；
D、当时，，又由随的增大而减小可知，当时，，说法正确，符合题意；
故选D．
【分析】根据一次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴BD=cm，
再根据平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质求出BD的长，再利用平移的性质求出BB'的长，最后利用线段的和差求出点D，之间的距离即可.
8．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：当点P在上时，的底不变，高增大，所以的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
综上分析可知，B选项中的图象符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点P在、、、、上时，的面积S与时间t的关系确定图象．
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，，
∵点为的中点，，
∴
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得CF，根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，
对于函数来说，随的增大而增大，故①正确；
，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由可得，故不等式的解集是，故③正确；
可以得到，故④正确，
综上，正确的是①③④；
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的化简方法求解即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程可化为：，
因式分解得：，
所以或，
解得：，，
故答案为：，.
【分析】利用因式分解法解方程即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵、分别是、的中点
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据矩形性质可得，根据勾股定理可得AQ，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱侧面展开如图所示，则，
由题意可得，，
∴，
∴装饰带的最短长度，
故答案为：．
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设平移后直线的解析式为，
当直线经过点时，，
解得；
当直线经过点时，，
解得；
∴将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，的取范围为，
故答案为：．
【分析】设平移后直线的解析式为，根据待定系数法将点，代入解析式求出的值，即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：观察，发现：，，，，，
，(为正整数）．
对应地，，，，，…，
则点是线段的中点，
点的坐标是，，为正整数），
△的面积是，
的面积，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出、、、的坐标，结合图形即可得知点是线段的中点，由此即可得出点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
17．【答案】解：原式＝4﹣3+2
＝4﹣3+4
＝4+．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将括号里的每一项分别与相除，再计算二次根式的乘法，最后计算加减．
18．【答案】解：根据题意，
，
，
，
，
，，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法的步骤解一元二次方程，得到答案．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵四边形是矩形
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据菱形性质可得，即，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，再根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：在中，，，，
，
在中，，，
，即，
，即是直角三角形；
（2）解：在中，，，，，
，
的面积为：，
又的面积为：，
四边形的面积为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
21．【答案】（1），，；
（2）解：小涵的总评成绩分；
（3）解：不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选， 理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为小悦分、小涵分，所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：数据按照由小到大排列为，，，，，，，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数为分，
故答案为：，，；
【分析】（）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
（）根据加权平均数公式计算即可求解；
（）根据名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案；
22．【答案】解：(1)设y关于x的函数关系解析式为：y＝kx+b，将(4，73)(6，72)，
代入y＝kx+b中得，
解得：；
y关于x的函数关系解析式为：；
当x＝10时，y＝，
当x＝150时，y＝＝0.
故答案为：70；0
(2)当跨带的长度为120cm时，可得
x+y＝120，
即，
解得x＝90.
答：此时单层部分的长度为90cm.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设y关于x的函数关系解析式为y＝kx+b，根据待定系数法将点(4，73)(6，72)代入解析式可得y关于x的函数关系解析式为：，再将x=10，x=150代入解析式即可求出答案.
（2）由题意就可得x+y＝120，代入解析式，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：道路的宽为米，
由题意得：
整理得：
解得：(不合题意，舍去)，
答：道路的宽是米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元，由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为，阴影部分的面积看作长为（50-2x），宽为（30-2x）的长方形，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，现在租金（200+y），车位数（50-），根据停车场的月租金收入为元，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值（最小值）即可．
24．【答案】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
，
，
直线的解析式是．
当时，，
点；
（2）解：如图1，过点作，垂足为，则有，
设，
时，，
，
在点的上方，
，
，
由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1，
，
；
的面积与的面积相等，
，
解得，
；
（3）点P的坐标是（4，3）或（1，4）或（2，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，
如图
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得，，
，
；
当为直角顶点时，过作轴于，如图
为等腰直角三角形，
，，
而，
，
，，
，
，
当为直角顶点时，过作轴于，如图
同理可证，
，，
，
综上所述，坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得直线的解析式是，再根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入解析式即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，则有，设，将x=2代入解析式可得，根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1，则，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，根据等腰直角三角形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据边之间的关系即可求出答案；当为直角顶点时，过作轴于，根据等腰直角三角形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案；当为直角顶点时，过作轴于，同理可证，则，，即可求出答案.
25．【答案】【性质探究】：，；
【问题解决】：解：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为、、、，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
又，
，
即，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
是菱形，
，
．
又，，
，
，
又，，
，
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”；
：（1），理由如下：
如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，
四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，
四边形是正方形，
，，
，
，分别是，的中点，
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】性质探究：①，②；
理由如下：如图1，
四边形是“中方四边形”，
是正方形且、、、分别是、、、的中点，
，，，，，，
，，
故答案为：，；
【拓展应用】（2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，
连接交于，连接、，
当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，
，
由性质探究②知：，
又，分别是，的中点，
，，
，
，
由拓展应用（1）知：；
又，
，
．
【分析】【性质探究】：由题意可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
【问题解决】：取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，根据三角形中位线定理可得，，，，根据平行四边形判定定理可得边形是平行四边形，根据正方形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再跟剧全等三角形判定定理可得，则，，再根据菱形判定定理可得是菱形，根据角之间的关系可得，则菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”.
【拓展应用】：（1）分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，则，，根据勾股定理可得MN，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案．
1 / 1广东省惠州市第一中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2024八下·惠州期末）二次根式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．（2024八下·惠州期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
C、此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
3．（2024八下·惠州期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A. 对角线相等，只有矩形、正方形具有，此选项错误；
B. 对角线互相平分，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质，此选项正确；
C. 对角线平分一组对角，平行四边形不一定具有，此选项错误；
D. 对角线互相垂直，平行四边形、矩形不一定具有，此选项错误；
故答案为：B.
【分析】分别利用菱形，矩形，正方形，平行四边形的对角线的性质，对各选项逐一判断.
4．（2024八下·惠州期末）气象局调查了甲、乙、丙、丁四个城市连续四年的降水量，它们的平均降水量都是毫米，方差分别是，，，，则这四个城市年降水量最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，，，
，
丁的方差最小，最稳定，
故答案为：D．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（2024八下·惠州期末）对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象过点 B．y值随着x值的增大而增大
C．函数的图象经过第三象限 D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点，说法错误，不符合题意；
B、因为函数，所以随的增大而减小，说法错误，不符合题意；
C、因为函数解析式与轴的交点，与轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限，说法错误，不符合题意；
D、当时，，又由随的增大而减小可知，当时，，说法正确，符合题意；
故选D．
【分析】根据一次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024八下·惠州期末）若是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
7．（2024八下·惠州期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　　）
A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴BD=cm，
再根据平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质求出BD的长，再利用平移的性质求出BB'的长，最后利用线段的和差求出点D，之间的距离即可.
8．（2024八下·惠州期末）如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：当点P在上时，的底不变，高增大，所以的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变；
当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小；
综上分析可知，B选项中的图象符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点P在、、、、上时，的面积S与时间t的关系确定图象．
9．（2024八下·惠州期末）如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，，
∵点为的中点，，
∴
故答案为：B．
【分析】根据矩形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得CF，根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．（2024八下·惠州期末）如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：
①函数的随的增大而增大；
②函数不经过第二象限；
③不等式的解集是；
④．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，
对于函数来说，随的增大而增大，故①正确；
，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由可得，故不等式的解集是，故③正确；
可以得到，故④正确，
综上，正确的是①③④；
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八下·惠州期末）将化成最简二次根式为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的化简方法求解即可．
12．（2024八下·惠州期末）方程的解是　 　.
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程可化为：，
因式分解得：，
所以或，
解得：，，
故答案为：，.
【分析】利用因式分解法解方程即可.
13．（2024八下·惠州期末）如图，在矩形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点．，，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵、分别是、的中点
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据矩形性质可得，根据勾股定理可得AQ，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
14．（2024八下·惠州期末）每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱侧面展开如图所示，则，
由题意可得，，
∴，
∴装饰带的最短长度，
故答案为：．
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.
15．（2024八下·惠州期末）已知点，，将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，则的取范围是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设平移后直线的解析式为，
当直线经过点时，，
解得；
当直线经过点时，，
解得；
∴将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，的取范围为，
故答案为：．
【分析】设平移后直线的解析式为，根据待定系数法将点，代入解析式求出的值，即可求出答案.
16．（2024八下·惠州期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形，、、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：观察，发现：，，，，，
，(为正整数）．
对应地，，，，，…，
则点是线段的中点，
点的坐标是，，为正整数），
△的面积是，
的面积，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出、、、的坐标，结合图形即可得知点是线段的中点，由此即可得出点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
三、解答题：本大题共9小题，共72分．
17．（2024八下·惠州期末）计算：．
【答案】解：原式＝4﹣3+2
＝4﹣3+4
＝4+．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将括号里的每一项分别与相除，再计算二次根式的乘法，最后计算加减．
18．（2024八下·惠州期末）解一元二次方程：．
【答案】解：根据题意，
，
，
，
，
，，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法的步骤解一元二次方程，得到答案．
19．（2024八下·惠州期末）如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F．
（1）求证：四边形是矩形
（2）如果设，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵四边形是矩形
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据菱形性质可得，即，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，再根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
20．（2024八下·惠州期末）如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：在中，，，，
，
在中，，，
，即，
，即是直角三角形；
（2）解：在中，，，，，
，
的面积为：，
又的面积为：，
四边形的面积为：．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
21．（2024八下·惠州期末）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如图：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦
小涵 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】（1），，；
（2）解：小涵的总评成绩分；
（3）解：不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选， 理由如下：
由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为小悦分、小涵分，所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：数据按照由小到大排列为，，，，，，，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数为分，
故答案为：，，；
【分析】（）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
（）根据加权平均数公式计算即可求解；
（）根据名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案；
22．（2024八下·惠州期末）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小垣用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：
(1)根据表中数据的规律，补全以下表格，并求出y关于x的函数表达式；
单层部分的长度x(cm) … 4 6 8 10 … 150
双层部分的长度y(cm) … 73 72 71 ______ … ______
(2)根据小垣的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度.
【答案】解：(1)设y关于x的函数关系解析式为：y＝kx+b，将(4，73)(6，72)，
代入y＝kx+b中得，
解得：；
y关于x的函数关系解析式为：；
当x＝10时，y＝，
当x＝150时，y＝＝0.
故答案为：70；0
(2)当跨带的长度为120cm时，可得
x+y＝120，
即，
解得x＝90.
答：此时单层部分的长度为90cm.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设y关于x的函数关系解析式为y＝kx+b，根据待定系数法将点(4，73)(6，72)代入解析式可得y关于x的函数关系解析式为：，再将x=10，x=150代入解析式即可求出答案.
（2）由题意就可得x+y＝120，代入解析式，解方程即可求出答案.
23．（2024八下·惠州期末）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为.
（1）求道路的宽是多少米
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民
【答案】（1）解：道路的宽为米，
由题意得：
整理得：
解得：(不合题意，舍去)，
答：道路的宽是米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元，由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为，阴影部分的面积看作长为（50-2x），宽为（30-2x）的长方形，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，现在租金（200+y），车位数（50-），根据停车场的月租金收入为元，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值（最小值）即可．
24．（2024八下·惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
（3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
，
，
直线的解析式是．
当时，，
点；
（2）解：如图1，过点作，垂足为，则有，
设，
时，，
，
在点的上方，
，
，
由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1，
，
；
的面积与的面积相等，
，
解得，
；
（3）点P的坐标是（4，3）或（1，4）或（2，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，
如图
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得，，
，
；
当为直角顶点时，过作轴于，如图
为等腰直角三角形，
，，
而，
，
，，
，
，
当为直角顶点时，过作轴于，如图
同理可证，
，，
，
综上所述，坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得直线的解析式是，再根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入解析式即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，则有，设，将x=2代入解析式可得，根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1，则，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，根据等腰直角三角形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据边之间的关系即可求出答案；当为直角顶点时，过作轴于，根据等腰直角三角形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案；当为直角顶点时，过作轴于，同理可证，则，，即可求出答案.
25．（2024八下·惠州期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【性质探究】
如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ；
【问题解决】
如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；
【拓展应用】
如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，
（1）试探索与的数量关系，并说明理由．
（2）若，则的最小值是 ．
【答案】【性质探究】：，；
【问题解决】：解：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为、、、，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
又，
，
即，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
是菱形，
，
．
又，，
，
，
又，，
，
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”；
：（1），理由如下：
如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，
四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，
四边形是正方形，
，，
，
，分别是，的中点，
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】性质探究：①，②；
理由如下：如图1，
四边形是“中方四边形”，
是正方形且、、、分别是、、、的中点，
，，，，，，
，，
故答案为：，；
【拓展应用】（2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，
连接交于，连接、，
当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，
，
由性质探究②知：，
又，分别是，的中点，
，，
，
，
由拓展应用（1）知：；
又，
，
．
【分析】【性质探究】：由题意可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
【问题解决】：取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，根据三角形中位线定理可得，，，，根据平行四边形判定定理可得边形是平行四边形，根据正方形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再跟剧全等三角形判定定理可得，则，，再根据菱形判定定理可得是菱形，根据角之间的关系可得，则菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”.
【拓展应用】：（1）分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，则，，根据勾股定理可得MN，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案．
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