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期末真题重组练习卷（二）-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 昌平区期末）中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．京剧脸谱 B．剪纸对鱼
C．中国结 D．风筝燕归来
2．（2024秋 恩施市期末）下列说法错误的是（　　）
A．当x＝2时，分式无意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当分式时，m＝±3
D．分式与的最简公分母是3ab2
3．（2024秋 利津县期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
4．（2024秋 丽水期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
5．（2024秋 安顺期末）某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价高60%，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元？小宇同学根据题意得到方程，则方程中未知数x所表示的是（　　）
A．足球的单价 B．排球的单价
C．足球的数量 D．排球的数量
6．（2024秋 武汉期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
7．（2024春 苍梧县期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024秋 衡阳期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（　　）
A．③②① B．①③② C．②③① D．③①②
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 槐荫区期末）因式分解：ax2﹣a的结果是　 　 ．
10．（2024秋 山阳县期末）若分式的值为0，则x的值为 　 　 ．
11．（2024春 麦积区期末）如果多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是 　 　 ．
12．（2023春 渠县期末）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，a2﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解a3﹣1＝
　 　 ＝　 　 ．
13．（2024秋 仙居县期末）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　 　 ．
14．（2023春 藁城区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为　 　 ．
15．（2024春 薛城区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为 　 　 ．
16．（2024秋 海港区期末）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　 　 时，△PBQ是直角三角形．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 淮安期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024春 淮安区期末）先化简，再求值，请你从﹣3、0、2、3中找一个合适的a值代入求值．
19．（2024春 长海县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别在边AD，BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：四边形AFCE是平行四边形．
20．（2023秋 邵阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
21．（2024秋 河池期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵．
（1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？
22．（2024春 锦江区校级月考）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣2，2）．
（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）P是平面内一点，若四边形A1B1C2P为平行四边形，直接写出点P坐标为 　 　 ．
23．（2024春 惠来县期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）根据图象可得，不等式kx+b＞4的解集是 　 　 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1；
①求点B的坐标；
②写出不等式组﹣4x+a＞kx+b＞0的解集 　 　 ．
24．（2022春 惠来县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　 ；
（2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
期末真题重组练习卷（二）-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C B A A D
一．选择题（共8小题）
1．（2023春 昌平区期末）中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．京剧脸谱 B．剪纸对鱼
C．中国结 D．风筝燕归来
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．（2024秋 恩施市期末）下列说法错误的是（　　）
A．当x＝2时，分式无意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当分式时，m＝±3
D．分式与的最简公分母是3ab2
【解答】解：A、当x＝2时，分式无意义，故本选项说法正确，不符合题意；
B、当x＞5时，分式的值为正数，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当分式时，m＝3，故本选项说法错误，符合题意；
D、分式与的最简公分母是3ab2，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
3．（2024秋 利津县期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．1.5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，
∴∠APD＝∠CDP，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，
∵O是BD中点，E是PD中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OEPB＝1.5．
故选：D．
4．（2024秋 丽水期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
【解答】解：A、62+82＝102，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、242+72＝252，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、22+1.52≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、92+122＝152，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
5．（2024秋 安顺期末）某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价高60%，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元？小宇同学根据题意得到方程，则方程中未知数x所表示的是（　　）
A．足球的单价 B．排球的单价
C．足球的数量 D．排球的数量
【解答】解：∵足球的单价比排球的单价高60%，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，，
∴方程中未知数x所表示的是排球的单价，
故选：B．
6．（2024秋 武汉期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC，
∴B不符合要求；
∴BC＝4DC，
∴C不符合要求；
∴BD＝3DC，
∴A符合要求；
∵AC＝2DC，BC＝4DC
∴BDAC，
∴D不符合要求；
故选：A．
7．（2024春 苍梧县期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，
故选：A．
8．（2024秋 衡阳期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（　　）
A．③②① B．①③② C．②③① D．③①②
【解答】解：反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°；
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 槐荫区期末）因式分解：ax2﹣a的结果是　a（x+1）（x﹣1）　 ．
【解答】解：原式＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1），
故答案为：a（x+1）（x﹣1）
10．（2024秋 山阳县期末）若分式的值为0，则x的值为 　1　 ．
【解答】解：∵分式的值为0，
∵x﹣1＝0且x+3≠0，
∴x＝1，
当x＝1时x+3≠0，
∴当x＝1时，分式的值是0．
故答案为：1．
11．（2024春 麦积区期末）如果多边形的每个外角都是30°，那么这个多边形的边数是 　12　 ．
【解答】解：多边形的边数是：360°÷30°＝12．
故答案为：12．
12．（2023春 渠县期末）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，a2﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解a3﹣1＝　a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）　 ＝　（a﹣1）（a2+a+1）　 ．
【解答】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：a×a×（a﹣1）+1×1×（a﹣1）+1×a×（a﹣1）＝a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）；
原式两边提取a﹣1，可得原式＝（a﹣1）（a2+a+1）．
故答案为：a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）；（a﹣1）（a2+a+1）．
13．（2024秋 仙居县期末）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣2，1）　 ．
【解答】解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
14．（2023春 藁城区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为　x＞﹣2　 ．
【解答】解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4，
故答案为x＞﹣2．
15．（2024春 薛城区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为 　　 ．
【解答】解：∵BC＝4，BF＝1，
∴FC＝BC﹣BF＝4﹣1＝3，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴．
故答案为：．
16．（2024秋 海港区期末）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　1或2　 时，△PBQ是直角三角形．
【解答】解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQBP，
即t（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BPBQ，
3﹣tt，t＝2（秒）．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：1或2．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 淮安期末）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
去分母得：x+3＝4x，
移项得：x﹣4x＝﹣3，
合并同类项得：﹣3x＝﹣3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2），
去分母得：1+3（x﹣2）＝x﹣1
去括号得：1+3x﹣6＝x﹣1，
移项得：3x﹣x＝﹣1﹣1+6，
合并同类项得：2x＝4，
系数化为1得：x＝2，
经检验x＝2是增根，原分式方程无解．
18．（2024春 淮安区期末）先化简，再求值，请你从﹣3、0、2、3中找一个合适的a值代入求值．
【解答】解：原式

，
当a＝0时，原式．
19．（2024春 长海县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F分别在边AD，BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：四边形AFCE是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，BC＝AD，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE，BF＝DE，
∴BC﹣BF＝AD﹣DE，
即CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
20．（2023秋 邵阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝23°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝23°，
∵∠EDC＝90°
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，
∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．
21．（2024秋 河池期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少10棵．
（1）求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？
（2）为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1314元，问最少购进多少棵乙种树苗？
【解答】解：（1）设乙种树苗单价是x元，则甲种树苗单价是1.5x元，
依题意得：10，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×10＝15，
答：甲种树苗单价是15元，乙种树苗单价是10元；
（2）设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：10m+15（100﹣m）≤1314，
解得：m≥37.2，
又∵m为整数，
∴m的最，小值为38，
答：最少购进38棵乙种树苗．
22．（2024春 锦江区校级月考）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣4，3），C（﹣2，2）．
（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）P是平面内一点，若四边形A1B1C2P为平行四边形，直接写出点P坐标为 　（3，﹣10）或（﹣1，0）或（5，4）　 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点A1的坐标为（1，﹣5）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，点B2的坐标为（3，4）．
（3）当以A1B1为对角线时，点P的坐标为（3，﹣10）；
当以A1C2为对角线时，点P的坐标为（﹣1，0）；
当以B1C2为对角线时，点P的坐标为（5，4）．
∴点P坐标为（3，﹣10）或（﹣1，0）或（5，4）．
23．（2024春 惠来县期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）根据图象可得，不等式kx+b＞4的解集是 　x＞0　 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1；
①求点B的坐标；
②写出不等式组﹣4x+a＞kx+b＞0的解集 　﹣2＜x＜1　 ．
【解答】解：（1）根据图象可得，不等式kx+b＞4的解集是x＞0，
故答案为：x＞0；
（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴，得，
∴一次函数y1＝2x+4，
∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是x＝1，
当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6）；
②∵点B的坐标为（1，6）；C（﹣2，0）
根据函数图象可得：﹣4x+a＞kx+b＞0的解集为﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
24．（2022春 惠来县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　6　 ；
（2）当t＝　8　 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴3×45×PH3×PC，
∴12＝8PH，
∴12＝8（2t﹣8），
解得t．
综上所述：t＝2或t＝3或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
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