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广东省深圳市光明区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（2024八下·光明期末）位于四川省广汉市三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，有“长江文明之源”的美誉，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，是中国的文物群体中最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下面三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形∶如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形.
2．（2024八下·光明期末）点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据点的平移性质即可求出答案.
3．（2024八下·光明期末）若分式的值为0，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据分式值为0的条件及分式有意义的条件即可求出答案.
4．（2024八下·光明期末）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
即正九边形内角和为．
故答案为：D
【分析】根据多边形的内角和定理，即可求出答案.
5．（2024八下·光明期末）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 由，得，是真命题；
B. 由，得，原命题是假命题；
C. 由，得，是真命题；
D. 由，得，是真命题；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
6．（2024八下·光明期末）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于于，已知角为，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，
，
故答案为：A．
【分析】根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得．
7．（2024八下·光明期末）若是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．10 B． C．25 D．10或
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
8．（2024八下·光明期末）如图，在四边形中，和是对角线，E、F、G、H分别为边、、和的中点，连接、、和，若，，则四边形周长为（　　）
A．10 B．14 C．24 D．28
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别为边、、和的中点，
∴、、、分别是、、、的中位线，
，，，，
又∵，，
，，
∴四边形周长=，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得，，，，则，，再根据四边形周长即可求出答案.
9．（2024八下·光明期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：分式方程变形，得，
关于的分式方程有增根，
增根为，
把代入，得；
故答案为：C．
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
10．（2024八下·光明期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正确；
取的中点N，连接，如图所示：
则，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，故④错误；
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024八下·光明期末）分解因式：　 　.
【答案】x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为： x（x-2）.
【分析】直接提取公因式x即可.
12．（2024八下·光明期末）如图，在中，是的角平分线，，，过作于点，则　 　．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，即平分，
∵，，
∴，
在中，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据角平分线性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
13．（2024八下·光明期末）如图，一次函数图象与轴和轴分别交于和，则关于的不等式解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，函数值y随x的增大而增大，
∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴当时，关于x的不等式．
故答案为：．
【分析】当一次函数的图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．（2024八下·光明期末）在平行四边形中，连接，过点以为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数是　 　．
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得：，且平分，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可得：，且平分，根据四边形是平行四边形，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义即可求出答案.
15．（2024八下·光明期末）如图，在中，，，点在边上，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将逆时针旋转后得到
根据旋转的性质可知，
，，
，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】根据旋转性质可得，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，则为直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（2024八下·光明期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：
解不等式①，可得，
解不等式②，可得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示解集如下；
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．
17．（2024八下·光明期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式=1+1=2
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把代入进行计算即可．
18．（2024八下·光明期末）解方程：．
【答案】解：
方程两边都乘得
解这个方程得
经检验： 是原方程的根
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解
19．（2024八下·光明期末）如图，在中，垂直平分，交于点，连接，过点作，交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
垂直平分，
，
在和中，
．
四边形是平行四边形．
（2）解：
是直角三角形
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据中点的定义可得、，根据直角三角形判定定理可得是直角三角形，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．（2024八下·光明期末）光明乳鸽和公明烧鹅都是光明区著名的传统特色美食．某餐饮店销售光明乳鸽和公明烧鹅，已知一份光明乳鸽的售价比一份公明烧鹅便宜20元，若顾客花1600元购买公明烧鹅的数量与花1200元购买光明乳鸽的数量相同．
（1）求光明乳鸽和公明烧鹅每份的售价．
（2）为了促销，该餐饮店对公明烧鹅进行9折销售，光明乳鸽售价不变．某顾客准备用不超过1320元购买光明乳鸽和公明烧鹅共20份，他最多可购买多少份公明烧鹅？
【答案】（1）解：设光明乳鸽每份售价元，公明烧鹅每份售价元
解得：
经检验，是所列方程的根．
答：光明乳鸽每份售价60元，公明烧鹅每份售价80元．
（2）解：设可购买份公明烧鹅
．
解得：．
答：最多可购买10份公明烧鹅．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设光明乳鸽每份售价元，根据顾客花1600元购买公明烧鹅的数量与花1200元购买光明乳鸽的数量相同，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设可购买份公明烧鹅，根据题意，列出不等式，解不等式即可求出答案.
21．（2024八下·光明期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称
直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．
【答案】【数学建模】， ① ，；
【问题拓展】解：桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短；
【迁移应用】米
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：【迁移应用】如图所示，
过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵关于直线对称点，
∴，，，
∴，
在△中，由勾股定理得
，
∴，
故步行观光路线的最短长度为米．
【分析】【数学建模】：由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得，即可求出答案.
【问题拓展】：过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过作垂直河岸于，即为所求；
【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据对称性质可得，，，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
22．（2024八下·光明期末）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①________°；
②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴（SAS）；
（2）①同理可证：，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°，
∴；
②，理由如下：
过点C作，于点M，N，
由（1）得，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则△CFH是等边三角形，
∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°，
∴，
在△BCH和△ACF中
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，即，
在△ABG和△ACD中
∴（SAS），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF
=S△ABD-S△ABG
=S△AGD
=DG·AE
=×6×
=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解；
（2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解；
②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论；
（3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解．
1 / 1广东省深圳市光明区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（2024八下·光明期末）位于四川省广汉市三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，有“长江文明之源”的美誉，其中出土的文物是宝贵的人类文化遗产，是中国的文物群体中最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下面三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·光明期末）点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·光明期末）若分式的值为0，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
4．（2024八下·光明期末）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·光明期末）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
6．（2024八下·光明期末）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于于，已知角为，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·光明期末）若是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．10 B． C．25 D．10或
8．（2024八下·光明期末）如图，在四边形中，和是对角线，E、F、G、H分别为边、、和的中点，连接、、和，若，，则四边形周长为（　　）
A．10 B．14 C．24 D．28
9．（2024八下·光明期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八下·光明期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024八下·光明期末）分解因式：　 　.
12．（2024八下·光明期末）如图，在中，是的角平分线，，，过作于点，则　 　．
13．（2024八下·光明期末）如图，一次函数图象与轴和轴分别交于和，则关于的不等式解集是　 　．
14．（2024八下·光明期末）在平行四边形中，连接，过点以为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数是　 　．
15．（2024八下·光明期末）如图，在中，，，点在边上，，，，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（2024八下·光明期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
17．（2024八下·光明期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2024八下·光明期末）解方程：．
19．（2024八下·光明期末）如图，在中，垂直平分，交于点，连接，过点作，交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长度．
20．（2024八下·光明期末）光明乳鸽和公明烧鹅都是光明区著名的传统特色美食．某餐饮店销售光明乳鸽和公明烧鹅，已知一份光明乳鸽的售价比一份公明烧鹅便宜20元，若顾客花1600元购买公明烧鹅的数量与花1200元购买光明乳鸽的数量相同．
（1）求光明乳鸽和公明烧鹅每份的售价．
（2）为了促销，该餐饮店对公明烧鹅进行9折销售，光明乳鸽售价不变．某顾客准备用不超过1320元购买光明乳鸽和公明烧鹅共20份，他最多可购买多少份公明烧鹅？
21．（2024八下·光明期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称
直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．
22．（2024八下·光明期末）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：．
（2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接．
①________°；
②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形∶如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】根据点的平移性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
故答案为：C．
【分析】根据分式值为0的条件及分式有意义的条件即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
即正九边形内角和为．
故答案为：D
【分析】根据多边形的内角和定理，即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 由，得，是真命题；
B. 由，得，原命题是假命题；
C. 由，得，是真命题；
D. 由，得，是真命题；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，
，
故答案为：A．
【分析】根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得．
7．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别为边、、和的中点，
∴、、、分别是、、、的中位线，
，，，，
又∵，，
，，
∴四边形周长=，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得，，，，则，，再根据四边形周长即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：分式方程变形，得，
关于的分式方程有增根，
增根为，
把代入，得；
故答案为：C．
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正确；
取的中点N，连接，如图所示：
则，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，故④错误；
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误．
11．【答案】x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为： x（x-2）.
【分析】直接提取公因式x即可.
12．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，即平分，
∵，，
∴，
在中，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据角平分线性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，函数值y随x的增大而增大，
∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴当时，关于x的不等式．
故答案为：．
【分析】当一次函数的图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得：，且平分，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意可得：，且平分，根据四边形是平行四边形，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将逆时针旋转后得到
根据旋转的性质可知，
，，
，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】根据旋转性质可得，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，则为直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】解：
解不等式①，可得，
解不等式②，可得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示解集如下；
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．
17．【答案】解：原式
；
当时，原式=1+1=2
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把代入进行计算即可．
18．【答案】解：
方程两边都乘得
解这个方程得
经检验： 是原方程的根
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解
19．【答案】（1）证明：，
，
垂直平分，
，
在和中，
．
四边形是平行四边形．
（2）解：
是直角三角形
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据中点的定义可得、，根据直角三角形判定定理可得是直角三角形，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设光明乳鸽每份售价元，公明烧鹅每份售价元
解得：
经检验，是所列方程的根．
答：光明乳鸽每份售价60元，公明烧鹅每份售价80元．
（2）解：设可购买份公明烧鹅
．
解得：．
答：最多可购买10份公明烧鹅．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设光明乳鸽每份售价元，根据顾客花1600元购买公明烧鹅的数量与花1200元购买光明乳鸽的数量相同，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设可购买份公明烧鹅，根据题意，列出不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】【数学建模】， ① ，；
【问题拓展】解：桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短；
【迁移应用】米
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：【迁移应用】如图所示，
过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵关于直线对称点，
∴，，，
∴，
在△中，由勾股定理得
，
∴，
故步行观光路线的最短长度为米．
【分析】【数学建模】：由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得，即可求出答案.
【问题拓展】：过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过作垂直河岸于，即为所求；
【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据对称性质可得，，，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在△ACD和△BCE中
∴（SAS）；
（2）①同理可证：，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°，
∴；
②，理由如下：
过点C作，于点M，N，
由（1）得，，
∴
∴，
∴，
在上截取，连接，
则△CFH是等边三角形，
∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°，
∴，
在△BCH和△ACF中
∴（SAS），
∴，
∴；
（3）如图，在上找一点，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，即，
在△ABG和△ACD中
∴（SAS），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF
=S△ABD-S△ABG
=S△AGD
=DG·AE
=×6×
=.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解；
（2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解；
②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论；
（3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解．
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