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广东省广州市越秀区广州大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·越秀期末）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·越秀期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．9，12，15 C．2，3，4 D．，，
3．（2024八下·越秀期末）用配方法解方程 时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·越秀期末）若点和都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．（2024八下·越秀期末）下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．（2024八下·越秀期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·越秀期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·越秀期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．甲每分钟走100米
B．两分钟后乙每分钟走50米
C．当或6时，甲乙两人相距100米
D．甲比乙提前1.5分钟到达B地
9．（2024八下·越秀期末）已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（　　）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
10．（2024八下·越秀期末）如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024八下·越秀期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
12．（2024八下·越秀期末）计算： 　 　。
13．（2024八下·越秀期末）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为　 　分．
14．（2024八下·越秀期末）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的长是　 　．
15．（2024八下·越秀期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(1，2)，则关于x的不等式kx+b<2x的解集是　 　．
16．（2024八下·越秀期末）如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，的中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是　 　．
17．（2024八下·越秀期末）解方程：．
18．（2024八下·越秀期末）如图．点E、F是平行四边形对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
19．（2024八下·越秀期末）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次参加跳绳测试的学生人数为___________；图1中m的值为____________；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为__________；中位数为_____________；
（3）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有多少人？
20．（2024八下·越秀期末）如图，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，连接，求的长．
21．（2024八下·越秀期末）已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
22．（2024八下·越秀期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
　 款玩偶 款玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
（2）第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．（2024八下·越秀期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1．
（1）点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ；
（2）连接，求的面积．
（3）点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式．
24．（2024八下·越秀期末）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：
（1）①如图1，，时， ___________；
②如图2，当，时， ___________， __________；
（2）已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
（3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长．
25．（2024八下·越秀期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．
（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
x2-4x=9，
x2-4x+4=9+4，
，
故答案为：A.
【分析】先求出x2-4x=9，再利用配方法求解即可。
4．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴随的增大而减小
又∵
∴
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长是，
∴
∴，
∵的周长是，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式可得，最后求出即可．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，
根据题意得，
故答案为：A．
【分析】设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，根据“ 2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元 ”列出方程即可.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，
甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意；
两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意；
当时，甲乙相距（米），
当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意；
乙到达B地用的时间为：（分钟），
则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用函数图象中的数据，并利用“速度、路程和时间”的关系逐项分析判断即可.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 A、由题意计算方程M、N的b2-4ac的值，根据结论可知两个方程的根的判别式相同；
B、由题意可知△=b2-4ac>0，两根之积（）小于0，则a、c异号，所以方程N也有一个正根和一个负根；
C、由题意把x=5代入方程M中可得25a+5b+c=0，两边同时除以25可得是方程N的一个根；
D、根据方程M、N有一个相同的根可得ax2+bx+c=cx2+bx+a，解之可得x=±1．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③如图，以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故③正确；
④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
由等腰三角形三线合一知，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：D．
【分析】 先利用“SAS”证出可判断①是否正确；再利用全等三角形的性质和互余可判断②是否正确；再以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，证出四边形是平行四边形，从而可判断③是否正确；④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则，先证出，再结合三线合一证出，再证出，利用勾股定理求出的长，再利用“AAS”证出，再求出的值，再求出的面积，从而可判断④是否正确．
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= ．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案．
13．【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义计算即可求出答案.
14．【答案】8
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出AC的长即可.
15．【答案】x＞1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵x=1时，y=2，
∴函数y=2x的图象也经过点A（1，2），
∴函数y=kx+b（k＜0）和y=2x的图象都经过点A（1，2），
观察图象得，当x＞1时，kx+b＜2x．
故答案为：x＞1．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
17．【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．【答案】证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
又
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接交于点，先利用平行四边形的性质及线段的和差及等量代换求出OE=OF，再结合OB=OD，即可证出四边形是平行四边形．
19．【答案】（1）；
（2），
（3）解：人，
答：估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，，
故答案为：；．
（2）由于样本数据中分的人数最多，
∴众数为分，
从小到大排列后居于中间的两个数为分和分，
∴中位数为分，
故答案为：，.
【分析】（1）利用“2分”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出m的值即可；
（2）利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“3分”的百分比，再乘以1200可得答案.
20．【答案】（1）解：如图1，所作直线DE即为线段AB的垂直平分线，
（2）解：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
设BD=x，则AD=x，CD=8-x，
∵Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BD=5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质作图即可.
（2）设BD=x，则AD=x，CD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】解：(1)解：∵原方程有实数根，
∴，
∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，
得：，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得，再求解即可.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再求解即可.
22．【答案】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意得：，
解得：，
（个），
答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个.
（2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意得：，
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，解得，
，
由，可知随的增大而增大，
当时，（元），
款玩偶为：（个），
答：按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，根据“ 小冬用550元购进了，两款玩偶共30个 ”列出方程，再求解即可；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
23．【答案】（1）；
（2）解：如图：
根据题意可得：点A的坐标为，，点C的坐标为，
.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：将代入函数，可得D点纵坐标为2，
将点；代入，
可得：
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：；；
（3）解：①如图，点P在之间：
；
②点P在B点下方，如图：
；
③点P在D点的上面
；
综上所述：．
【分析】（1）将点D的横坐标代入解析式求出点D的纵坐标可得点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；（2）先求出点A、C的坐标，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可；（3）分类讨论：①点P在之间，②点P在B点下方，③点P在D点的上面，先分别画出图形并利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
24．【答案】（1）①，②；，
（2）解：猜想三者之间的关系是：．
证明如下：如图，连接，
∵，是的中线，
∴是的中位线．
，且．
．
设，则，
在中，①；
在中，②；
在中，③；
由①，得．
由②+③，得．
．
（3）解：设AF，BE交于点P，取AB的中点H，连接FH，AC．如图，
∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，
．
又，
．
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
是“中垂三角形”，
，
即，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：由题可得即为的中位线，
，且，
①当时，
，
，
∵，
∴
∵，
∴，
，
则在中，，
∵是的中线，
；
②当时，
，
同理可得，，
则在和中，
，
．
故答案为：①，②；，.
【分析】（1）①先求出，再求出可得，再求出，再利用勾股定理求出的长，最后结合中线的性质求出即可；
②先求出，再求出，再利用勾股定理求出的长，再结合中线的性质求出即可；
（2）设，求出、的长，再依次将线段长代入和中，从而可得答案；
（3）设、交于点P，取的中点H，连接、，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系求解即可.
25．【答案】解：（1）
（负根舍去），
又
在轴的负半轴上，
（2）过作于，如图所示：
由勾股定理得：
作 在上，
轴平分∠BAC，
由勾股定理得：
（3）由（2）同理可得：，
在直线上，
设直线与轴分别交于，
则
过作于 使 连接交于如图所示：
则此时最小，
为的中点，
设为
解得：
为
解得：
即当最小时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的动态几何问题
1 / 1广东省广州市越秀区广州大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·越秀期末）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2．（2024八下·越秀期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，8，10 B．9，12，15 C．2，3，4 D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
3．（2024八下·越秀期末）用配方法解方程 时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
x2-4x=9，
x2-4x+4=9+4，
，
故答案为：A.
【分析】先求出x2-4x=9，再利用配方法求解即可。
4．（2024八下·越秀期末）若点和都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴随的增大而减小
又∵
∴
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小）分析求解即可.
5．（2024八下·越秀期末）下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
6．（2024八下·越秀期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长是，
∴
∴，
∵的周长是，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用三角形的周长公式可得，最后求出即可．
7．（2024八下·越秀期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，
根据题意得，
故答案为：A．
【分析】设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，根据“ 2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元 ”列出方程即可.
8．（2024八下·越秀期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．甲每分钟走100米
B．两分钟后乙每分钟走50米
C．当或6时，甲乙两人相距100米
D．甲比乙提前1.5分钟到达B地
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，
甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意；
两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意；
当时，甲乙相距（米），
当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意；
乙到达B地用的时间为：（分钟），
则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用函数图象中的数据，并利用“速度、路程和时间”的关系逐项分析判断即可.
9．（2024八下·越秀期末）已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（　　）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 A、由题意计算方程M、N的b2-4ac的值，根据结论可知两个方程的根的判别式相同；
B、由题意可知△=b2-4ac>0，两根之积（）小于0，则a、c异号，所以方程N也有一个正根和一个负根；
C、由题意把x=5代入方程M中可得25a+5b+c=0，两边同时除以25可得是方程N的一个根；
D、根据方程M、N有一个相同的根可得ax2+bx+c=cx2+bx+a，解之可得x=±1．
10．（2024八下·越秀期末）如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③如图，以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故③正确；
④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
由等腰三角形三线合一知，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：D．
【分析】 先利用“SAS”证出可判断①是否正确；再利用全等三角形的性质和互余可判断②是否正确；再以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，证出四边形是平行四边形，从而可判断③是否正确；④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则，先证出，再结合三线合一证出，再证出，利用勾股定理求出的长，再利用“AAS”证出，再求出的值，再求出的面积，从而可判断④是否正确．
11．（2024八下·越秀期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．（2024八下·越秀期末）计算： 　 　。
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= ．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案．
13．（2024八下·越秀期末）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为　 　分．
【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义计算即可求出答案.
14．（2024八下·越秀期末）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的长是　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出AC的长即可.
15．（2024八下·越秀期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(1，2)，则关于x的不等式kx+b<2x的解集是　 　．
【答案】x＞1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵x=1时，y=2，
∴函数y=2x的图象也经过点A（1，2），
∴函数y=kx+b（k＜0）和y=2x的图象都经过点A（1，2），
观察图象得，当x＞1时，kx+b＜2x．
故答案为：x＞1．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
16．（2024八下·越秀期末）如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，的中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
17．（2024八下·越秀期末）解方程：．
【答案】解：，
即，
∴，
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．（2024八下·越秀期末）如图．点E、F是平行四边形对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
又
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】连接交于点，先利用平行四边形的性质及线段的和差及等量代换求出OE=OF，再结合OB=OD，即可证出四边形是平行四边形．
19．（2024八下·越秀期末）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次参加跳绳测试的学生人数为___________；图1中m的值为____________；
（2）本次调查获取的样本数据的众数为__________；中位数为_____________；
（3）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有多少人？
【答案】（1）；
（2），
（3）解：人，
答：估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，，
故答案为：；．
（2）由于样本数据中分的人数最多，
∴众数为分，
从小到大排列后居于中间的两个数为分和分，
∴中位数为分，
故答案为：，.
【分析】（1）利用“2分”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出m的值即可；
（2）利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“3分”的百分比，再乘以1200可得答案.
20．（2024八下·越秀期末）如图，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，连接，求的长．
【答案】（1）解：如图1，所作直线DE即为线段AB的垂直平分线，
（2）解：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
设BD=x，则AD=x，CD=8-x，
∵Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BD=5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质作图即可.
（2）设BD=x，则AD=x，CD=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2024八下·越秀期末）已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
【答案】解：(1)解：∵原方程有实数根，
∴，
∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，
得：，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解分式方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得，再求解即可.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再求解即可.
22．（2024八下·越秀期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：
　 款玩偶 款玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
（2）第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意得：，
解得：，
（个），
答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个.
（2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意得：，
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，解得，
，
由，可知随的增大而增大，
当时，（元），
款玩偶为：（个），
答：按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，根据“ 小冬用550元购进了，两款玩偶共30个 ”列出方程，再求解即可；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
23．（2024八下·越秀期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1．
（1）点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ；
（2）连接，求的面积．
（3）点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式．
【答案】（1）；
（2）解：如图：
根据题意可得：点A的坐标为，，点C的坐标为，
.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：将代入函数，可得D点纵坐标为2，
将点；代入，
可得：
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：；；
（3）解：①如图，点P在之间：
；
②点P在B点下方，如图：
；
③点P在D点的上面
；
综上所述：．
【分析】（1）将点D的横坐标代入解析式求出点D的纵坐标可得点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；（2）先求出点A、C的坐标，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可；（3）分类讨论：①点P在之间，②点P在B点下方，③点P在D点的上面，先分别画出图形并利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
24．（2024八下·越秀期末）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索：
（1）①如图1，，时， ___________；
②如图2，当，时， ___________， __________；
（2）已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
（3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长．
【答案】（1）①，②；，
（2）解：猜想三者之间的关系是：．
证明如下：如图，连接，
∵，是的中线，
∴是的中位线．
，且．
．
设，则，
在中，①；
在中，②；
在中，③；
由①，得．
由②+③，得．
．
（3）解：设AF，BE交于点P，取AB的中点H，连接FH，AC．如图，
∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，
．
又，
．
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
是“中垂三角形”，
，
即，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：由题可得即为的中位线，
，且，
①当时，
，
，
∵，
∴
∵，
∴，
，
则在中，，
∵是的中线，
；
②当时，
，
同理可得，，
则在和中，
，
．
故答案为：①，②；，.
【分析】（1）①先求出，再求出可得，再求出，再利用勾股定理求出的长，最后结合中线的性质求出即可；
②先求出，再求出，再利用勾股定理求出的长，再结合中线的性质求出即可；
（2）设，求出、的长，再依次将线段长代入和中，从而可得答案；
（3）设、交于点P，取的中点H，连接、，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系求解即可.
25．（2024八下·越秀期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示．
（1）若的值为5平方单位，求m的值；
（2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值
（3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标．
【答案】解：（1）
（负根舍去），
又
在轴的负半轴上，
（2）过作于，如图所示：
由勾股定理得：
作 在上，
轴平分∠BAC，
由勾股定理得：
（3）由（2）同理可得：，
在直线上，
设直线与轴分别交于，
则
过作于 使 连接交于如图所示：
则此时最小，
为的中点，
设为
解得：
为
解得：
即当最小时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的动态几何问题
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