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广西壮族自治区南宁市青秀区第二中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·青秀期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．3，5，7 C．5，6，11 D．4，7，13
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵，∴此三条线段不能构成三角形，故A不符合题意；
B、∵，∴此三条线段能构成三角形，故B符合题意；
C、∵，∴此三条线段不能构成三角形，故C不符合题意；
D、∵，∴此三条线段不能构成三角形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·青秀期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的，
故选：C．
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此作答，即可得到答案．
3．（2024七下·青秀期末）在实数，，，0，，，中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，0，，都是有理数，
实数，π，是无理数，共有3个；
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
4．（2024七下·青秀期末）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查市场上粽子的质量
C．调查春节联欢晚会的收视率 D．了解某班学生的身高情况
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查市场上粽子的质量，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
5．（2024七下·青秀期末）如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可得，再结合，可得，从而得解.
6．（2024七下·青秀期末）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
故答案为：A
【分析】根据中线与面积的关系可得，即可求出答案.
7．（2024七下·青秀期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，∴，故选项C符合题意；
∵，若，则，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
8．（2024七下·青秀期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质、立方根的计算方法和绝对值的性质逐项分析判断即可.
9．（2024七下·青秀期末）如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（　　）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选D．
【分析】根据已知一个角作相同角可得∠DAE=∠B，即可求出答案.
10．（2024七下·青秀期末）如图，下列条件中，能判定的有（　　）．
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
综上，①③④可判断，
故答案为：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
11．（2024七下·青秀期末）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“ 乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100 ”列出方程组即可.
12．（2024七下·青秀期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，故结论②正确；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
⑤由④得，，
∵，
∴，
∴，故结论⑤不正确；
∴正确的结论有个．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的，角平分线的定义及角的运算判断，再利用平行线的性质和判定方法逐项分析判断即可.
13．（2024七下·青秀期末）比较大小：2　 　（填，或）．
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
14．（2024七下·青秀期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点作于点，将水泵房建在了处，
这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【分析】利用垂线段最短的的性质及生活常识分析求解即可.
15．（2024七下·青秀期末）第四套人民币一角硬币，又叫“菊花一角硬币”，如图所示，仔细观察我们会发现，该硬币为外圆内正九边形边缘异形币，请同学们根据所学的知识，计算该正九边形的内角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：九边形的内角和为，
故答案为：．
【分析】利用多边形的内角和公式（多边形的内角和=（n-2）×180°）列出算式求解即可.
16．（2024七下·青秀期末）在一个支架的橫杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动．如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点C作于点E，测得，，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】角的运算；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可．
17．（2024七下·青秀期末）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=65°，则∠1=　 　.
【答案】130°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠2=65°，
∴∠3=180°-2∠2=180°-2×65°=50°，
∵矩形的两边互相平行，
∴∠1=180°-∠3=180°-50°=130°．
故答案为：130°.
【分析】先利用折叠及角的运算求出∠3=180°-2∠2=180°-2×65°=50°，再利用平行线的性质求出∠1=180°-∠3=180°-50°=130°即可．
18．（2024七下·青秀期末）在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2024秒钟后，点P的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
观察图形可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，
∵，
∴经过2024秒钟后，点P在第三象限，
∵P4的坐标为，
P8的坐标为，
…，
∴的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】先求出规律可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，再结合，可得经过2024秒钟后，点P在第三象限，再求出的坐标为，最后求出的坐标为即可.
19．（2024七下·青秀期末）计算
（1）计算：；
（2）解方 组：．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用有理数的混合运算的计算方法（有括号的先计算括号，再计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
20．（2024七下·青秀期末）解不等式组：，并将其解集表示在数轴上．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
21．（2024七下·青秀期末）如图，在平面直角坐标系中，中任意一点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到．
（1）画出平移后的，并写出、、的坐标．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：经平移后对应点为，
向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到，
如图即为所求，
，，.
（2）解：根据题意得：
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出、、坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出△A1B1C1的面积即可.
22．（2024七下·青秀期末）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图；
（2）如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数；
（3）根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议．
【答案】（1）解：50，
（2）解：（人）；
（3）解：由统计图可知，8分段的人数最多，建议学校加强初一学生“1000米跑步”的练习，提升学生的成绩．（合理即可）
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取学生的总人数为；
∴7分的人数为：，补全条形图如图：
【分析】
（1）用8分的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出7分的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）根据众数的意义即可求出答案.
23．（2024七下·青秀期末）如图，平分，，点D是上一点，交于点E．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，再结合，利用等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，求出，最后利用角的运算求出即可.
24．（2024七下·青秀期末）为了让同学们了解东盟十国文化，2024年5月12日，某校2023级的全体师生走进南宁方特东盟神话，开展以“传扬初中学子魅力，争做文化交流使者”为主题的研学活动．活动前，年级组准备租用A，B两种型号的客车（A型车至少租用15辆）．A型车每辆租金400元、B型车每辆租金500元，若2辆A型和1辆B型车满后共载客125人；3辆A型和2辆B型车坐满后共载客210人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最少租金费用是多少元？
【答案】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，
根据题意得，
解得：，
答：每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客45人.
（2）解：设租型车辆，则租型车辆，
∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为15或16或17或18，共有四种租车方案，
当租型车15辆，则租型车9辆，租金为元，
当租型车16辆，则租型车8辆，租金为元，
当租型车17辆，则租型车7辆，租金为元，
当租型车18辆，则租型车6辆，租金为元，
∵，
∴租型车18辆，则租型车6辆，租金最少，最少租金是元．
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
25．（2024七下·青秀期末）跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①，，
又，
，
能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，
能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ．
（2）求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】（1）①两；②7；③37
（2）解：根据题意可得：，
，
，
能确定175616的立方根是个两位数
∵175616的个位数是6，
又，
能确定175616的立方根的个位数是6，
如果划去175616后面的三位616得到数175，
而，
则，
可得，
由此能确定175616的立方根的十位数是5，
因此175616的立方根是56．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）①，，
又，
，
能确定50653的立方根是个两位数．
②∵50653的个位数是3，
又，
能确定50653的立方根的个位数是7，
③如果划去50653后面的三位653得到数50，
而，则，可得，
由此能确定50653的立方根的十位数是3，
因此50653的立方根是37．
故答案为：①两；②7；③37.
【分析】（1）利用立方根的计算方法及题干的计算方法分析求解即可；（2）利用立方根的计算方法及题干的计算方法分析求解即可.
26．（2024七下·青秀期末）综合与实践：
问题探究：（1）图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据 ；
A． B． C． D．
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图2，在的边OA，OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点C，D重合，则过角尺顶点E的射线是的平分线，请证明此做法的合理性；
拓展实践：（3）如图3，四边形中，，，对角线与相交于点F，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．猜想该“筝形”的面积S与对角线的数量关系，并进行证明．
【答案】解：（1）A.
（2）证明：∵，，，
∴（），
∴，
∴平分；
（3）∵，，
∴垂直平分，
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵以为边作等边三角形，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴平分；
故答案为：A．
【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可证出平分；
（2）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可证出平分；
（3）先证出垂直平分， 再利用三角形的面积公式及割补法可得， 再求出即可．
1 / 1广西壮族自治区南宁市青秀区第二中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·青秀期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．3，5，7 C．5，6，11 D．4，7，13
2．（2024七下·青秀期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·青秀期末）在实数，，，0，，，中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024七下·青秀期末）以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查市场上粽子的质量
C．调查春节联欢晚会的收视率 D．了解某班学生的身高情况
5．（2024七下·青秀期末）如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·青秀期末）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·青秀期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·青秀期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·青秀期末）如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（　　）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
10．（2024七下·青秀期末）如图，下列条件中，能判定的有（　　）．
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
11．（2024七下·青秀期末）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译为“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024七下·青秀期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
13．（2024七下·青秀期末）比较大小：2　 　（填，或）．
14．（2024七下·青秀期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是　 　．
15．（2024七下·青秀期末）第四套人民币一角硬币，又叫“菊花一角硬币”，如图所示，仔细观察我们会发现，该硬币为外圆内正九边形边缘异形币，请同学们根据所学的知识，计算该正九边形的内角和为　 　．
16．（2024七下·青秀期末）在一个支架的橫杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动．如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点C作于点E，测得，，则的长为　 　．
17．（2024七下·青秀期末）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2=65°，则∠1=　 　.
18．（2024七下·青秀期末）在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2024秒钟后，点P的坐标是　 　．
19．（2024七下·青秀期末）计算
（1）计算：；
（2）解方 组：．
20．（2024七下·青秀期末）解不等式组：，并将其解集表示在数轴上．
21．（2024七下·青秀期末）如图，在平面直角坐标系中，中任意一点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到．
（1）画出平移后的，并写出、、的坐标．
（2）求的面积．
22．（2024七下·青秀期末）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图；
（2）如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数；
（3）根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议．
23．（2024七下·青秀期末）如图，平分，，点D是上一点，交于点E．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
24．（2024七下·青秀期末）为了让同学们了解东盟十国文化，2024年5月12日，某校2023级的全体师生走进南宁方特东盟神话，开展以“传扬初中学子魅力，争做文化交流使者”为主题的研学活动．活动前，年级组准备租用A，B两种型号的客车（A型车至少租用15辆）．A型车每辆租金400元、B型车每辆租金500元，若2辆A型和1辆B型车满后共载客125人；3辆A型和2辆B型车坐满后共载客210人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最少租金费用是多少元？
25．（2024七下·青秀期末）跟华罗庚学猜数：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
①，，
又，
，
能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，
能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ．
（2）求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
26．（2024七下·青秀期末）综合与实践：
问题探究：（1）图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据 ；
A． B． C． D．
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图2，在的边OA，OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点C，D重合，则过角尺顶点E的射线是的平分线，请证明此做法的合理性；
拓展实践：（3）如图3，四边形中，，，对角线与相交于点F，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．猜想该“筝形”的面积S与对角线的数量关系，并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵，∴此三条线段不能构成三角形，故A不符合题意；
B、∵，∴此三条线段能构成三角形，故B符合题意；
C、∵，∴此三条线段不能构成三角形，故C不符合题意；
D、∵，∴此三条线段不能构成三角形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的，
故选：C．
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此作答，即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，0，，都是有理数，
实数，π，是无理数，共有3个；
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查市场上粽子的质量，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可得，再结合，可得，从而得解.
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
∵是的中线
∴
∵的高相等
∴
故答案为：A
【分析】根据中线与面积的关系可得，即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，∴，故选项C符合题意；
∵，若，则，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质、立方根的计算方法和绝对值的性质逐项分析判断即可.
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选D．
【分析】根据已知一个角作相同角可得∠DAE=∠B，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
综上，①③④可判断，
故答案为：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
11．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“ 乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为100；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为100 ”列出方程组即可.
12．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，故结论②正确；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
⑤由④得，，
∵，
∴，
∴，故结论⑤不正确；
∴正确的结论有个．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的，角平分线的定义及角的运算判断，再利用平行线的性质和判定方法逐项分析判断即可.
13．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
14．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点作于点，将水泵房建在了处，
这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【分析】利用垂线段最短的的性质及生活常识分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：九边形的内角和为，
故答案为：．
【分析】利用多边形的内角和公式（多边形的内角和=（n-2）×180°）列出算式求解即可.
16．【答案】3
【知识点】角的运算；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可．
17．【答案】130°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠2=65°，
∴∠3=180°-2∠2=180°-2×65°=50°，
∵矩形的两边互相平行，
∴∠1=180°-∠3=180°-50°=130°．
故答案为：130°.
【分析】先利用折叠及角的运算求出∠3=180°-2∠2=180°-2×65°=50°，再利用平行线的性质求出∠1=180°-∠3=180°-50°=130°即可．
18．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
观察图形可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，
∵，
∴经过2024秒钟后，点P在第三象限，
∵P4的坐标为，
P8的坐标为，
…，
∴的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】先求出规律可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，再结合，可得经过2024秒钟后，点P在第三象限，再求出的坐标为，最后求出的坐标为即可.
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用有理数的混合运算的计算方法（有括号的先计算括号，再计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
20．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
21．【答案】（1）解：经平移后对应点为，
向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到，
如图即为所求，
，，.
（2）解：根据题意得：
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出、、坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出△A1B1C1的面积即可.
22．【答案】（1）解：50，
（2）解：（人）；
（3）解：由统计图可知，8分段的人数最多，建议学校加强初一学生“1000米跑步”的练习，提升学生的成绩．（合理即可）
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取学生的总人数为；
∴7分的人数为：，补全条形图如图：
【分析】
（1）用8分的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出7分的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）根据众数的意义即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，再结合，利用等量代换可得，从而可证出；
（2）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，求出，最后利用角的运算求出即可.
24．【答案】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，
根据题意得，
解得：，
答：每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客45人.
（2）解：设租型车辆，则租型车辆，
∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为15或16或17或18，共有四种租车方案，
当租型车15辆，则租型车9辆，租金为元，
当租型车16辆，则租型车8辆，租金为元，
当租型车17辆，则租型车7辆，租金为元，
当租型车18辆，则租型车6辆，租金为元，
∵，
∴租型车18辆，则租型车6辆，租金最少，最少租金是元．
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
25．【答案】（1）①两；②7；③37
（2）解：根据题意可得：，
，
，
能确定175616的立方根是个两位数
∵175616的个位数是6，
又，
能确定175616的立方根的个位数是6，
如果划去175616后面的三位616得到数175，
而，
则，
可得，
由此能确定175616的立方根的十位数是5，
因此175616的立方根是56．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）①，，
又，
，
能确定50653的立方根是个两位数．
②∵50653的个位数是3，
又，
能确定50653的立方根的个位数是7，
③如果划去50653后面的三位653得到数50，
而，则，可得，
由此能确定50653的立方根的十位数是3，
因此50653的立方根是37．
故答案为：①两；②7；③37.
【分析】（1）利用立方根的计算方法及题干的计算方法分析求解即可；（2）利用立方根的计算方法及题干的计算方法分析求解即可.
26．【答案】解：（1）A.
（2）证明：∵，，，
∴（），
∴，
∴平分；
（3）∵，，
∴垂直平分，
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵以为边作等边三角形，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∴平分；
故答案为：A．
【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可证出平分；
（2）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可证出平分；
（3）先证出垂直平分， 再利用三角形的面积公式及割补法可得， 再求出即可．
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