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广东省梅州市兴宁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·兴宁期末）年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·兴宁期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·兴宁期末）若有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·兴宁期末）如图，在中，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·兴宁期末）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
6．（2024八下·兴宁期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的6倍 D．不变
7．（2024八下·兴宁期末）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024八下·兴宁期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024八下·兴宁期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·兴宁期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024八下·兴宁期末）因式分解： =　 　.
12．（2024八下·兴宁期末）如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则　 　．
13．（2024八下·兴宁期末）在中，，，则等于　 　．
14．（2024八下·兴宁期末）若的解集是，则m的取值范围是　 　；
15．（2024八下·兴宁期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则　 　．
16．（2024八下·兴宁期末）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，则周长的最小值是　 　．
17．（2024八下·兴宁期末）解不等式组：．
18．（2024八下·兴宁期末）如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由．
19．（2024八下·兴宁期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2024八下·兴宁期末）如图，在四边形中，点E、F分别为对角线上的两点，且，连接、，若，，求证：四边形为平行四边形．
21．（2024八下·兴宁期末）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；
（3）的面积是__________．
22．（2024八下·兴宁期末）中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论．
23．（2024八下·兴宁期末）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元．
（1）求甲、乙两种书的单价．
（2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24．（2024八下·兴宁期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
解决问题：
（1）若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）已知，求的值；
（3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值．
25．（2024八下·兴宁期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接并延长交于点，设运动时间为（）．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，∴A不符合题意；
B、从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，∴B不符合题意；
C、从左至右的变形属于因式分解，∴C符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得x-2>0，求解可得x的范围.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形的顶角平分线，
∴CD=BD=5．
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中点和底边上的高线是同一条线）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 中的x和y都扩大为原来的2倍，
得，
∴分式的值不变.
故答案为：D.
【分析】根据分式基本的性质，分式的分子分母同乘以不为零的数，分式的值不变.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形边数有x条，由题意得：
180° (x 2)=1080°
解得：x=8
故答案为8
所以选D
【分析】先求出180° (x 2)=1080°，再求解即可。
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
①式化简得：
又∵该不等式的解集为，
∴．
故选C．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴，，
即，
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解： .
【分析】直接应用平方差公式即可求解. .
12．【答案】
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得，再利用角的运算求出∠COB的度数即可.
13．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，
，
是等边三角形，
又，
，
故答案为：3．
【分析】先证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得BC的长.
14．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算求出∠ABC的度数，再利用垂直平分线的性质可得，最后利用角的运算求出∠EBC的度数即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
17．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】证明：是等腰三角形，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，再利用等量代换可得，最后证出是等腰三角形即可．
19．【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
20．【答案】解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求：
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）的面积为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质，画出；
（2）根据旋转的性质，画出即可；
（3）分割法求出的面积即可．
22．【答案】（1）证明：∵分别为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：，证明如下；
由（1）知，，，
∴，即．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，则，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得
，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
∴
答：甲、乙两种书的单价分别为元、元．
（2）解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，
则，
解得∶
∴该校最多购买本甲种书．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，列不等式，解不等式即可求出答案.
24．【答案】解：（1）；
（2）
∵，，
∴，，
，，
解得：，
∴；
（3），
，
，
∵，，S的最小值为3，
∴，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
即，
故答案为：.
【分析】（1）利用配方法的计算方法分析求解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将其代入x+y计算即可；
（3）先利用配方法将原式变形为，再求解即可.
25．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即.
（3）解：存在，
理由如下：过点作于，取中点，连接，
则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴，
∵，，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
1 / 1广东省梅州市兴宁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·兴宁期末）年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2024八下·兴宁期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，∴A不符合题意；
B、从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，∴B不符合题意；
C、从左至右的变形属于因式分解，∴C符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
3．（2024八下·兴宁期末）若有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得x-2>0，求解可得x的范围.
4．（2024八下·兴宁期末）如图，在中，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
5．（2024八下·兴宁期末）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形的顶角平分线，
∴CD=BD=5．
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中点和底边上的高线是同一条线）分析求解即可.
6．（2024八下·兴宁期末）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的6倍 D．不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 中的x和y都扩大为原来的2倍，
得，
∴分式的值不变.
故答案为：D.
【分析】根据分式基本的性质，分式的分子分母同乘以不为零的数，分式的值不变.
7．（2024八下·兴宁期末）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形边数有x条，由题意得：
180° (x 2)=1080°
解得：x=8
故答案为8
所以选D
【分析】先求出180° (x 2)=1080°，再求解即可。
8．（2024八下·兴宁期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
①式化简得：
又∵该不等式的解集为，
∴．
故选C．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可求出答案.
9．（2024八下·兴宁期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴，，
即，
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
10．（2024八下·兴宁期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．（2024八下·兴宁期末）因式分解： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解： .
【分析】直接应用平方差公式即可求解. .
12．（2024八下·兴宁期末）如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得，再利用角的运算求出∠COB的度数即可.
13．（2024八下·兴宁期末）在中，，，则等于　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，
，
是等边三角形，
又，
，
故答案为：3．
【分析】先证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得BC的长.
14．（2024八下·兴宁期末）若的解集是，则m的取值范围是　 　；
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵的解集是，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
15．（2024八下·兴宁期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算求出∠ABC的度数，再利用垂直平分线的性质可得，最后利用角的运算求出∠EBC的度数即可.
16．（2024八下·兴宁期末）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，则周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
17．（2024八下·兴宁期末）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．（2024八下·兴宁期末）如图，在△ABC中，平分交于点D，过点D做的平行线交于点E，请判断的形状，并说明理由．
【答案】证明：是等腰三角形，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，再利用等量代换可得，最后证出是等腰三角形即可．
19．（2024八下·兴宁期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
20．（2024八下·兴宁期末）如图，在四边形中，点E、F分别为对角线上的两点，且，连接、，若，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
21．（2024八下·兴宁期末）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；
（3）的面积是__________．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求：
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）的面积为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质，画出；
（2）根据旋转的性质，画出即可；
（3）分割法求出的面积即可．
22．（2024八下·兴宁期末）中，分别为的中点，为的中点， 的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵分别为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：，证明如下；
由（1）知，，，
∴，即．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，则，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质即可求出答案.
23．（2024八下·兴宁期末）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元．
（1）求甲、乙两种书的单价．
（2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得
，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
∴
答：甲、乙两种书的单价分别为元、元．
（2）解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，
则，
解得∶
∴该校最多购买本甲种书．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，列不等式，解不等式即可求出答案.
24．（2024八下·兴宁期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
解决问题：
（1）若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）已知，求的值；
（3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值．
【答案】解：（1）；
（2）
∵，，
∴，，
，，
解得：，
∴；
（3），
，
，
∵，，S的最小值为3，
∴，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
即，
故答案为：.
【分析】（1）利用配方法的计算方法分析求解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将其代入x+y计算即可；
（3）先利用配方法将原式变形为，再求解即可.
25．（2024八下·兴宁期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接并延长交于点，设运动时间为（）．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
（2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，四边形是平行四边形，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即.
（3）解：存在，
理由如下：过点作于，取中点，连接，
则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴，
∵，，
∴为的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
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