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期末真题重组练习卷（一）-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 平泉市期末）如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到SSS判定的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 陈仓区期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 雨花区校级期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学记数法表示为（　　）
A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10
C．18×10 D．1.8×10﹣10
4．（2024秋 望城区期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
5．（2024秋 方城县期末）某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（　　）
A．该事件是确定事件
B．该事件发生的可能性很小
C．该事件发生与不发生的可能性一样大
D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生
6．（2024秋 莒县期末）已知多项式x﹣a与2x2﹣2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（2023春 昆明期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．（2024秋 梓潼县期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　）
A．小汽车共行驶240km
B．小汽车中途停留0.5h
C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
二．填空题（共7小题）
9．（2024秋 恩施市期末）钟表上的时间是5时40分，此时时针与分针所成夹角的补角是　 　 ．
10．（2024秋 南安市期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　 　 （填“必然”或“随机”）事件．
11．（2024秋 泗阳县期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　 　 ．
12．（2024秋 梁平区期末）已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为 　 　 ．
13．（2024秋 宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为（﹣3.0），（﹣1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下：
①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；
③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；
④若点P（m，﹣m﹣1）是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．
其中正确的结论有 　 　 .（写序号即可）
14．（2024春 郑州期末）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　 　 秒时，△ACP是直角三角形．
15．（2024秋 醴陵市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
16．（2023秋 久治县期末）计算：（2m2n﹣2）2 3m﹣3n3．
17．（2024秋 衡阳期末）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
18．（2024秋 莘县期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
19．（2024春 旬阳市期末）等腰三角形周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm，
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围．
20．（2024秋 信丰县期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；并写出C1的坐标；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 　 　 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 　 　 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
21．（2024春 遵化市期末）
如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（4）小明读报用了多少时间？
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
22．（2024春 广陵区期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000
摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　 　 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 　 　 个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　 　 个或减少黑球 　 　 个．
23．（2024春 金寨县校级期末）根据解答过程填空．
已知：如图，∠D+∠3＝180°，AE平分∠BAD交CD于点F，交BC延长线于点E，∠4＝∠E，求证：∠B＝∠DCE．
证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（理由：　 　 ）．
∴∠1＝∠　 　 （理由：　 　 ）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E，
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4，
∴AB∥CD（理由：　 　 ），
∴∠B＝∠DCE（理由：　 　 ）．
24．（2021秋 揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
25．（2024秋 辛集市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 　 　 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 　 　 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 　 　 ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
期末真题重组练习卷（一）-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C D A C D
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 平泉市期末）如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到SSS判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，B，C选项可用SSS证明三角形全等，进而得到角平分线，
D选项是利用平行线的性质结合等腰三角形的性质推出角平分线．
故选：D．
2．（2024秋 陈仓区期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此不能表示y是x的函数的是选项B中的曲线，故B符合题意；
能表示y是x的函数的是选项A、C、D中的曲线，故A、C、D不符合题意．
故选：B．
3．（2024秋 雨花区校级期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学记数法表示为（　　）
A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10
C．18×10 D．1.8×10﹣10
【解答】解：0.00000000018＝1.8×10﹣10．
故选：D．
4．（2024秋 望城区期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
5．（2024秋 方城县期末）某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是（　　）
A．该事件是确定事件
B．该事件发生的可能性很小
C．该事件发生与不发生的可能性一样大
D．该事件发生的可能性很大，但不一定发生
【解答】解：某事件A发生的概率为0.99．关于事件A描述正确的是该事件发生的可能性很大，但不一定发生．
故选：D．
6．（2024秋 莒县期末）已知多项式x﹣a与2x2﹣2x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：（x﹣a）（2x2﹣2x+1）＝2x3+（﹣2﹣2a）x2+（2a+1）x﹣a，
∵不含x2项，
∴﹣2﹣2a＝0，
解得a＝﹣1．
故选：A．
7．（2023春 昆明期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，则OC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：由作图可知四边形OACB是菱形，
∴ OC AB＝4，
∵AB＝2cm，
∴OC＝4cm．
故选：C．
8．（2024秋 梓潼县期末）在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　）
A．小汽车共行驶240km
B．小汽车中途停留0.5h
C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
【解答】解：根据题意和图象可知：
小汽车共行驶：2×120＝240（km），故选项A说法正确，不符合题意；
小汽车中途停留0.5h，故选项B说法正确，不符合题意；
小汽车出发后前3小时的平均速度为：120÷3＝40（千米/时），故选项C说法正确，不符合题意；
小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
9．（2024秋 恩施市期末）钟表上的时间是5时40分，此时时针与分针所成夹角的补角是　110°　 ．
【解答】解：根据钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，40分正好是10°，
∴5时40分，则时针与分针的夹角为2×30°+10°＝70°．
此时时针与分针所成夹角的补角是108°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
10．（2024秋 南安市期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　随机　 （填“必然”或“随机”）事件．
【解答】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
11．（2024秋 泗阳县期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　　 ．
【解答】解：先设每个小正方形的面积为x，
则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是9x，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：．
12．（2024秋 梁平区期末）已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为 　8　 ．
【解答】解：因为△ABC与△DEF全等，
所以x＝5，y＝3，
所以x+y＝8，
故答案为：8．
13．（2024秋 宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的函数图象与x轴有且只有三个公共点，坐标分别为（﹣3.0），（﹣1，0），（3，0）．关于该函数的四个结论如下：
①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；
③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点；
④若点P（m，﹣m﹣1）是该函数图象上一点，则符合要求的点P只有两个．
其中正确的结论有 　②③　 .（写序号即可）
【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，故①错误；
②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，故②正确；
③将该函数图象向右平移1个单位长度时，原图象上的坐标为（﹣1，0）的点过原点，
将该函数图象向右平移3个单位长度时，原图象上的坐标为（﹣3，0）的点过原点，
故③正确；
④令m＝x，y＝﹣m﹣1，
则y＝﹣x﹣1，
如图所示，y＝﹣x﹣1的图象与原图象有三个交点，
故④错误；
所以正确的结论有②③．
故答案为：②③．
14．（2024春 郑州期末）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　1.75或4　 秒时，△ACP是直角三角形．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5cm，
∴BD＝CDBC＝4（cm），
∴AD3（cm），
分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，
则PB＝t，PC＝8﹣t，
∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2，
∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32，
解得：t＝1.75s；
②当AP⊥BC时，如图2，
∵AB＝AC，
∴PB＝PCBC＝4（cm），
∴t＝4s，
综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，
故答案为：1.75或4．
15．（2024秋 醴陵市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是 　80°　 ．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80°．
三．解答题（共10小题）
16．（2023秋 久治县期末）计算：（2m2n﹣2）2 3m﹣3n3．
【解答】解：（2m2n﹣2）2 3m﹣3n3，
＝4m4n﹣4 3m﹣3n3，
＝12m4﹣3n﹣4+3，
＝12mn﹣1．
17．（2024秋 衡阳期末）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
18．（2024秋 莘县期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE；
（2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；
（2）解：由（1）知△ADC≌△BCE，
∴DC＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF＝EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF＝3，DF＝4．
∴DE＝2DF＝8，
∴S△DCE12，
即△DCE的面积是12．
19．（2024春 旬阳市期末）等腰三角形周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm，
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵等腰三角形的两腰相等，周长为10，
∴2x+y＝10，
∴底边长y与腰长x的函数关系式为：y＝﹣2x+10；
∵两边之和大于第三边，
∴2x＞y，
∴x＞2.5，
∵y＞0，
∴x＜5，
（2）x的取值范围是：2.5＜x＜5．
20．（2024秋 信丰县期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；并写出C1的坐标；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 　y轴　 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 　（﹣2，3）　 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：
点C1的坐标为（2，﹣3）．
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B（4，2）关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线x＝0，即y轴，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
（3）．
答：△A1B1C1的面积为2.5．
21．（2024春 遵化市期末）
如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
（2）小明吃早餐用了多少时间？
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
（4）小明读报用了多少时间？
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）；
（2）小明吃早餐用了＝（25﹣8）＝17（min）；
（3）食堂离图书馆＝（0.8﹣0.6）＝0.2（km），小明从食堂到图书馆用了28﹣25＝3（min）；
（4）小明读报用了（58﹣28）＝30（min）；
（5）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是＝0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min）．
22．（2024春 广陵区期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000
摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 　0.6　 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 　30　 个；
（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 　10　 个或减少黑球 　10　 个．
【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球的个数为50×0.6＝30个，
故答案为：30；
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，
故答案为：10，10．
23．（2024春 金寨县校级期末）根据解答过程填空．
已知：如图，∠D+∠3＝180°，AE平分∠BAD交CD于点F，交BC延长线于点E，∠4＝∠E，求证：∠B＝∠DCE．
证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（理由：　同旁内角互补，两直线平行　 ）．
∴∠1＝∠　E　 （理由：　两直线平行，内错角相等　 ）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E，
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4，
∴AB∥CD（理由：　同位角相等，两直线平行　 ），
∴∠B＝∠DCE（理由：　两直线平行，同位角相等　 ）．
【解答】证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E，
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；E；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
24．（2021秋 揭西县期末）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x
＝2mx﹣3m+2m2﹣3x
＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得，m，
答：当m时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；
（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，
∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）
＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6
＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6
＝15xy﹣6x﹣9
＝3x（5y﹣2）﹣9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴5y﹣2＝0，即y；
（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），
∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．
∴S1﹣S2取值与x无关，
∴a﹣2b＝0
∴a＝2b．
25．（2024秋 辛集市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 　20°　 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 　120　 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 　60　 ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
②∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝120°，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故答案为：①20°； ②120，60；
（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
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