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2024-2025学年四川省射洪中学校高二下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
2.等差数列的公差为，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数在处取得极大值，则( )
A. B. C. D.
4.若函数在上为增函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知为数列的前项和，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.四人相约到射洪新时代电影院观看电影哪吒，恰好买到了四张连号的电影票若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.程大位是明代珠算发明家，徽州人他所编撰的直指算法统宗是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”现有一种算盘如图共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字：梁下五珠，上拨一珠记作数字例如：图中算盘表示整数如果拨动图中算盘的枚算珠，则可以表示不同的三位整数中能被整除的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，，的前项和为，则( )
A. B. 是等比数列
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 可表示为
B. 若把英文“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种
C. 若个男生与个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数
D. 不等式的解集为
11.对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数拐点处的切线方程为
B. 当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是
C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是
D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的图象在点处的切线方程；
若为函数的导函数，求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知数列中，，为数列的前项和，．
求数列的通项公式；
若数列总满足，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，
求函数的单调区间；
若对一切的，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，，．
求证：数列是等差数列；
设，的前项和为；
求；
若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式人工智能给出了不等式右端的证明：不妨设，则等价于，即证：，令，即证：对一切恒成立记，则，所以在上单调递增，从而有证毕．
请参照以上方法证明：；
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，证明：．
参考答案
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14.
15.解：，，，
则有，化简得，
即的图象在点处的切线方程为；
，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，
又，，
故在区间上的最大值和最小值分别为、．
16.解：当时，，
所以，
当时，，
由，当时，，符合
综上所述，；
，
则；
故．
17.解：函数的定义域为，
因为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
因为，
所以对一切的，恒成立，
即恒成立，
可得，即，
令，其中，
则，
则当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，则，解得，
所以的取值范围为．
18.解：由，得，即，
所以是公差为的等差数列．
由及已知得，，则，
，于是，
两边同乘以，得，
两式相减得，
，所以．
不等式
依题意，对任意的恒成立，令，
则，
因此数列为递减数列，则当时，，则，
所以实数的取值范围是．
19.解：不妨设，则等价于，
即，令，，即证，
令，，则，所以函数在上单调递减，
所以，所以，即成立；
函数的定义域为，又，
当时恒成立，所以在单调递增；
当时，则当时，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增；
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
(ⅱ)因为，由知，且，解得，
设，则，要证，即证，即证，
即证，设，
则，即在上单调递减，有，
即，则成立，因此成立，
要证，即证，即证，即证，即证，
而，即证，
令，则，
设，求导得，即在上单调递增，
则有，即，在上单调递减，而，当时，
，则当时，成立，故有成立，
所以．

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