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第二十一章 一元二次方程 练习
一、选择题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（　　）
A．1 B．2 C． D．0
3．若是一元二次方程的一个解，则的值是（　　）
A． B．2 C．0 D．或0
4．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　）
A．8 B．4 C． D．
5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，那么方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请 个队参赛，则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．关于一元二次方程，下列说法错误的是（　　）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程的两根之和为2
C．方程的两根异号 D．方程的两根互为倒数
10．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6 B． C． D．
二、填空题
11．写出一个两个根分别为和的一元二次方程　 　 ．
12．把方程化成的形式，则的值是　 　．
13．若 ，且一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是　 　.
14．已知是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
15．若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为　 　．
16．国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为　 　．
三、解答题
17．用适当的方法解方程
（1）
（2）
18．已知关于的一元二次方程，有一个根为2，求的值及方程的另一个根．
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若其中一个根是另一个根的2倍，求的值．
20．商场购进某种新商品的每件进价为60元，在试销期间发现，当每件商品的售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．
（1）当每件商品的售价为75元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元；
（2）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到400元．
21．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-2k=0的两个实数根，第三边BC的长为10.
（1）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；
（2）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
22．综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
23．汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为．
（1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时与之间的关系式为________；
（2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？
（3）李明驾驶汽车以的速度在某公路上行驶，突然发现在汽车正前方处有一障碍物，他立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距．
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．A
5．D
6．A
解：，
，
，
则，
即，
7．A
解：
8．B
9．D
10．B
11．(答案不唯一)
12．5
13． 且
14．
15．或
16．
17．（1），；（2），．
18．解：∵关于的一元二次方程，有一个根为2，
∴把代入，
得，
解得，
则，
∴，
即另一根是
19．（1）
（2）
20．（1）25；375
（2）80元
21．（1）解：由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时
x＝10必定是方程的一个根
当x＝10时，102－20(k－1)＋k2－2k＝0
解得k＝10或12
①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0
得x＝10或8
△ABC的周长为10＋10＋8＝28
②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0
得x＝10或12
△ABC的周长为10＋10＋12＝32
（22）解：解一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－2k＝0
x＝，
x1＝k，x2＝k－2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴k2＋(k－2)2＝102
解得k＝8或－6
当k＝－6时，AB，AC即x1，x2＜0(舍去)
∴k＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
22．解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为．
23．（1）
（2）此款新型汽车合格
（3）经过时间与抛锚汽车相距
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