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2025年九年级中考数学复习之全等三角形中辅助线
1．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．

（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．
2．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．

（1）如图1，求证BD=AE；
（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．
3．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
4．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形 画出图形,写出结论不证明.

5．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.

(1)求证：；
(2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
(3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由.
6．如图所示，，为等腰三角形，．
(1)如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ； 的度数为 ；
(2)如图2，在图1的基础上，将绕点顺时针旋转到如图2的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系 证明你的结论；
(3)若绕点任意旋转一个角度到如图3的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图3，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想．
7．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：．
【理解与运用】
（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围；
（3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
8．如图，在中，是边的中点，
(1)提出问题：
①请用无刻度的直尺和圆规过点画直线，使，交的延长线于点.（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
(2)解决问题：
①_______（填“”“=”或“”）.
②若，，则长度的取值范围为_______．
(3)拓展应用：
如图②，，分别是和的中线，，直接写出与的数量关系．
9．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点．
(1)猜想：如图1所示，当时，则______；
(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；
(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．
10．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
(1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______；
(2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．
11．如图1，为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，于．
(1)求证：；
(2)连接交于，若，求的值；
(3)如图2，过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
12．如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)若点为线段上一动点，当时，求点的坐标；
(3)若、为平面内两点，满足四边形为正方形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
13．如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明；
(3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值．
14．已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足
，连接、交于点．
(1)①如图1，直接写出的度数；
②如图2，过点作于点，当时，求证：；
(2)如图3，当时，求的度数．
15．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____．
(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明）
《2025年九年级中考数学复习之全等三角形中辅助线》参考答案
1．（1）见详解；（2）图2：，图3：
【分析】（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解．
（2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得．
【详解】解：（1）证明：在线段上截取，连接，

∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）当点在线段延长线上时，
如图2：在的延长线上截取，连接，

∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
当点在线段延长线上时，
如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，

∵，，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，
∴，，且
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝．
【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可；
（2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ACE＝∠BAD，
在△CAE与△ABD中
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AE＝BD；
（2）连接AH
∵AB＝AC，BH＝CH，
∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴AH＝BH，
∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，
∴∠EAH＝∠DBH，
在△AEH与△BDH中
∴△AEH≌△BDH（SAS），
∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，
∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°
即∠EHD＝90°，
∴∠EDH＝∠DEH＝；
（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T．
∵DG⊥FH，ER⊥FH，
∴∠DGH＝∠ERH＝90°，
∴∠HDG+∠DHG＝90°
∵∠DHE＝90°，
∴∠EHR+∠DHG＝90°，
∴∠HDG＝∠HER
在△DHG与△HER中
∴△DHG≌△HER （AAS），
∴HG＝ER，
∵ET∥BC，
∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，
∠ETF＝∠FHM，
∵∠EHB＝∠BHG，
∴∠HET＝∠ETF，
∴HE＝HT，
在△EFT与△MFH中
，
∴△EFT≌△MFH（AAS），
∴HF＝FT，
∴，
∴ER＝MS，
∴HG＝ER＝MS，
设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，
，
k＝，
∴FH=，
∴HE＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．
3．（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．
【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN；
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，

∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．

∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
4．（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.
【详解】解：（1）连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD⊥BC ,BD=AD ,
∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,
又∵BE=AF ,
∴△BDE≌△ADF（SAS）,
∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）连结AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,
∴AD=BD ,AD⊥BC ,
∴∠DAC=∠ABD=45° ,
∴∠DAF=∠DBE=135°,
又∵AF=BE ,
∴△DAF≌△DBE（SAS）,
∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
5．(1)见解析
(2)相等，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据等边三角形的性质，由即可证明；
（2）结论：，证明，可得结论．
（3）证明，推出，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：相等．
理由：如图2中，

∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，结论：．
理由：延长到R，使得，连接．

∵等边，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
6．(1)；
(2)，，理由见解析
(3)，，图形和理由见解析
【分析】本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质和判定等．构造三角形全等是解题的关键．
（1）证，结合为中点，即可得；
（2）延长到，使，连接、、， 易证，进而可以证明，即可证明，；
（3）基本方法同（2）．
【详解】（1）解：∵，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵为中点，，
∴，，
∴，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：，，理由：
如图，延长到，使，连接、、，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又为的中点，
∴，，
∴，；
（3）解：图形如图3，
结论：，，
证明如下：
如图4，延长到，使，连接、，连接交延长交于，交于，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又为的中点，
∴，，
∴，．
7．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证；
（2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案；
（3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证．
【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：延长至点，使，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
在中，由三边关系可得，即，
∴；
（3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
8．(1)①作图过程见解析；②猜想：，证明见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）①利用尺规作图，作一个角等于已知角，即，利用内错角相等，两直线平行判定即可.
②证明即可．
（2）①根据得到，在中，运用三角形三边关系定理计算即可．
②利用前面的结论计算即可．
（3）过点B作，交的延长线于点M，先证明，再证明，即可证明．
【详解】（1）解：①利用尺规作图，作
则，
点E即为所求.
②证明：与的数量关系为．理由如下：
∵，
∴
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）①解：∵
∴， ．
在中，，
∴，
故答案为：．
②解：在中，，
∵，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
（3）证明：．理由如下：
过点B作，交的延长线于点M，
∵，
∴，
∵ E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，三角形中线的应用，熟练掌握尺规作图，三角形中线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；
（1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到；
（2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到；
（3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
．
在和中，，，
，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）解：
在和中
．
在和中
，
．
（3）解：由（1）得，，
，
∵，
，，
，
，
，，
，
．
，，
．
10．(1)；
(2)且，理由见解析
(3)，
【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论；
（2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论；
（3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：且；
理由如下：∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：且；
（3）解：，，理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键．
11．(1)见解析
(2)2
(3)式子的值不会变化，值为1
【分析】（1）根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到与的关系，从而可以解答本题；
（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
【详解】（1）证明：∵为等腰三角形，，点P在线段上（不与B，C重合），以为腰长作等腰直角，于E，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：式子的值不会变化．
如图2所示：作交于点H，
∵，，，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．
12．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，正方形判定和性质，全等三角形的性质和判定、坐标与图形、三角形的面积等，数形结合，分类讨论是解题关键．
（1）根据直线与坐标轴的交点求出点A坐标，再利用待定系数法求解；
（2）首先求出点B坐标，再设点，由，即可求解；
（3）首先根据当正方形在右侧时或在左侧时，两种情况，画出图形，过P点作轴，结合一线三垂直模型证明，从而求解．
【详解】（1）解：交轴和轴于点和点，
当时，解得，，
当时，解得，，
∵，
∴，
∴
设直线的解析式为，将，代入，
则，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：设点，如图，连接，
则，
∵，
∴
∴
解得，
故点；
（3）解： 当正方形在右侧时，如图3（1），过P点作轴，
∵在正方形中，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
故点
当正方形在左侧时，如图3（2），
同理可得： ，，
故，
综上所述：满足条件的点或．
13．(1)
(2)
(3)的最小值为
【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出．
（2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则．
（3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：作交于，如图1：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
作交于，如图2，
在和中，
，
∴
∴，，，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，
∵关于直线对称，
∴，
∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
，
∵
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键．
14．(1)①②见详解
(2)
【分析】（1）①通过证明，得，即可知道；
②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证；
（2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答．
【详解】（1）解：因为是等边三角形，
所以，，
因为，
所以，
则，
那么；
②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示：
易得，，，
因为，
所以
故
即
因为，，
所以
则，
所以，
因为
所以
即是等边三角形，
所以
因为，
则；
（2）解：过点E作，
因为，
所以
即
因为
所以，
则
过点作交于点，交于点，则，
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
连接，如图，
∵
∴
又∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．(1)图见解析，，，
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；
（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为；
故答案为：，，；
（2）解：成立，证明如下：
延长到点，使，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在上取一点，使，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：．

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