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2025年中考数学三轮复习备考 与特殊平行四边形有关的最值问题
1．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，点D是BC的中点，作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）若BC＝DE＝4，在（2）的旋转过程中，当AE取最大值时，直接写出AF的长
2．如图，P是正方形ABCD中一动点，连接PA，PB，PC．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为8，Q为BC上一点，，连接AQ，PQ，求面积的最大值．
3．已知：在矩形ABCD中，，．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．
①连接BG，若，求AF的长；
②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
4．综合与实践
如图，四边形ABCD和AFGH都为正方形，点F、H分别在AB、AD上，连接BD、BH、FH，点N、M、K分别是它们的中点．
（1）观察思考
图（1）中，线段MN和MK的数量关系和位置关系为　 　．
（2）探究证明
将正方形AFGH绕点A旋转，在旋转的过程中MN和MK的上述关系是否发生变化？并结合图（2）说明理由．
（3）连接DF，取DF的中点R，连接NR，KR．
①判断四边形MNRK的形状，并说明理由；
②若AD＝6，AH＝2，在旋转的过程中，四边形MNRK的周长的最大值为　 　．
5．问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 　 　；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
6．将矩形折叠，使得点落在边上，折痕为，
（1）如图1，当点与点重合时，若，求的长；
（2）如图2，点落在边的点处（不与重合），若，
①取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
②设，用含有的式子表示四边形的面积，并求四边形的面积的最大值及此时的值．
7．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．
①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长；
②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值：　 　．
8．【问题背景】
（1）如图1，在四边形中，，，，点O是对角线上的动点，连接、，则的最小值为________；
【问题探究】
（2）如图2，在边长为2的等边中，点O是上一点，D，E分别是、边上的动点，且，连接、，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花四，对角线、是其中的两条观赏小路，在、的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心E、F，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值）
9．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形．
(1)如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式；
(2)已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标．
10．综合与探究：
如图，正方形，点在射线上，连接，过点作，交射线于点．
【问题探究】

（1）如图1，点在线段上，求证：
①；
②；
（2）如图2，点在线段上，将线段沿着方向向左平移，使点与点重合，点落在上的点处，与交于点，连接，取的中点，连接，在上取点，使得，若正方形的面积为36，求的最小值；
【拓展延伸】
（3）点在射线上，射线与射线相交于点，若，求的值．
11．【问题发现】
（1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”）
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______．
12．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）请写出线段BG和AE的位置关系及数量关系；
（2）如图②，将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定的角度，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=4，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度的过程中，当AE为最大值时，请直接写出AF的值．
13．在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．
(1)如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M．
①求折痕的长；
②连接交于点N，求 的值；
(2)如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ．
14．问题探究：
（1）如图1，已知中，，，则面积的最大值=______．
（2）如图2，已知中，，，，为边的中点，求的面积．
问题解决：
（3）如图3，某市打算在一处空地规划一个正方形的大型新兴商业区，是边上的正门，且，、分别为边上的两个安全出口，且，其中与的交点是服务台，与的交点是母婴室.按相关政策规定正门距母婴室的距离不超过，试求在符合政策规定的前提下，亲子区域即面积的最大值．
15．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积．
《2025年中考数学三轮复习备考 与特殊平行四边形有关的最值问题》参考答案
1．（1）BG=AE且BG⊥AE，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）.
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（2）如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
（3）由（2）可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【详解】（1）BG=AE且BG⊥AE．理由如下：
如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△ADE和△BDG中，
∵DA＝DB，∠ADC＝∠ADB，DE＝DG，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE；
如图，延长EA交BG于点H，
∵△ADE≌△BDG，
∴∠BGA=∠AED，
又∵∠GAH=∠EAD，
∴∠GHA=∠ADE=90°，
∴EH⊥BG，
即AE⊥BG，
综上所述，BG=AE且BG⊥AE．
（2）成立．理由如下：
如图2，连接AD，
∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
∵BD＝AD，∠BDG＝∠ADE，GD＝ED，
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴BG=AE；
如图，延长EA交BG于点H，DG和AH交于点M，
∵△ADE≌△BDG，
∴∠BGD=∠AED，
又∵∠GMH=∠EMD，
∴∠GHA=∠GDE=90°，
∴EH⊥BG，
即AE⊥BG，
综上所述，BG=AE且BG⊥AE．
（3）∵BG=AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为90°时，AE取得最大值．
∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．
∴AE=6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得．
【点睛】此题考查了线动旋转问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是根据题意证明出△ADE≌△BDG．
2．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质分别求出与的度数，从而求出的度数；
（2）将绕点顺时针旋转，得到，证明，由此可得，再证与都是等腰直角三角形，可得，进而证明．
（3）由（2）得，以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
，
．
（2）证明：将绕点顺时针旋转，得到，则，，，，．
，，
，
，即，
，
又，，
．
，
，，，
与都是等腰直角三角形，
，
又，
．
（3）解：由（2）得，
以为圆心，为半径作圆，则点在上，过点作，交于，交于，连接、，则当点与点重合时，的面积最大．
，，
，
，即．
，
．
的面积为，
即面积的最大值为．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，构造圆求三角形面积最大值，勾股定理，解决本题的关键是能够想到利用圆的构造求三角形面积的最大值．
3．（1）见解析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面积最大为
【分析】（1）连接，，由、、、分别是，，，的中点可得，，，又，得，即结论得证；
（2）①过点作延长线于，根据证，得出，根据勾股定理求出，设，则，再利用勾股定理求出即可；
②延长交延长线于，由①知，同理可证，则菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积，得出关于的关系式即可得出最大时菱形面积最大，当与重合时有最大值，求出此时的值即可．
【详解】解：（1）连接，，
、、、分别是，，，的中点，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）①如图2，过点作延长线于，
，，
，
又，，
，
，
，
设，则，
，
，
即，
解得，
故；
②如图2，延长交延长线于，
由已知可得，四边形是矩形，
由①知，
同理可证，
菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积，
，
即，
，
，，，，
，
，
当取最大值时菱形面积最大，
当与重合时有最大值，即取到最大值，
此时，
，
当时，菱形面积最大为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
4．（1）MN=MK ， MN⊥MK；（2）没有发生变化，理由见解析；（3）①四边形MNRK为正方形，理由见解析；②16．
【分析】（1）先由中位线定理得MN∥DH且MN=DH，MK∥BF且MK=BF，再由四边形ABCD和AFGH都为正方形得BF=DH、∠ABC=∠CBH+FBH=90°，进而∠NMH+∠KMH=90°，即得MN=MK且MN⊥MK；
（2）先由中位线定理得MN∥DH且MN=DH，MK∥BF且MK=BF，再证△BAF≌△DAH得BF=DH，∠ABF=∠ADH，即可证MN=MK且MN⊥MK；
（3）①先由中位线定理证得四边形NRKM为平行四边形，再由（2）结论即可证明平行四边形NRKM为正方形；
②由AD=6，AH=2，BF的范围AB-AF≤BF≤AB+AF得：4≤BF≤8，即可得BF的最大值为8，进而NR最大值为4，故正方形MNRK的周长的最大值为16．
【详解】解：（1）∵点N、M、K分别是BD、BH、FH的中点，
∴MN∥DH且MN=DH，MK∥BF且MK=BF，
∵四边形ABCD和AFGH都为正方形，
∴AB-AF=AD-AH，
∴BF=DH，
∴MN=MK，
∵MN∥DH∥BC，MK∥AB，
∴∠NMH=∠CBH，∠KMH=FBH，
∵∠ABC=∠CBH+∠FBH=90°，
∴∠NMH+∠KMH=90°，
∴MN⊥MK．
故答案为：MN=MK且MN⊥MK；
（2）不会变化，理由如下：
∵点N、M、K分别是它们的中点，
∴MN∥DH且MN=DH，MK∥BF且MK=BF，
∵四边形ABCD和AFGH都为正方形，
∴∠BAD=∠FAH=90°，
∴∠BAD-∠FAD=∠FAH-∠FAD，即∠BAF=∠DAH，
在△BAF与△DAH中，
，
∴△BAF≌△DAH（SAS），
∴BF=DH，∠ABF=∠ADH，
∴MN=MK，
如图，延长BF交DH与T，
∵∠ABF=∠ADH，
∴∠DAB=∠DTB=90°，
∴DH⊥BF，
∵MN∥DH，MK∥BF，
∴MN⊥MK；
（3）①正方形，理由如下：
∵R、N分别DF、BD的中点，
∴NR∥BF且NR=BF，
由（2）知，MK∥BF且MK=BF，
∴NR∥MK，NR=MK，
∴四边形NRKM为平行四边形，
再由（2）知，MN=MK且MN⊥MK，
∴平行四边形NRKM为正方形；
②∵AD=6，AH=2，
∴AD=AB=6，AH=AF=2，
在旋转的过程中BF的范围为：AB-AF≤BF≤AB+AF，
∴4≤BF≤8，
∴BF的最大值为8，
∴NR最大值为4，
∴正方形MNRK的周长的最大值为16．
故答案为：16．
【点睛】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、中位线定理、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，证明出△BAF≌△DAH，清楚在旋转的过程中BF的范围为：AB-AF≤BF≤AB+AF是本题的关键．
5．（1）4；（2）32；（3）存在，．
【分析】（1）作BD⊥AC于点D，根据题意可得当BD＝AB时，S△ABC的面积最大，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）首先根据矩形的性质求出OA＝OC＝OB＝OD＝4，然后根据题意可得当BE＝OB时，矩形ABCD面积最大，然后根据三角形面积公式求出S△AOB的最大值，即可求出矩形ABCD面积的最大值；
（3）作AF∥BD交CB的延长线于点F，作CE⊥AF于点E，设AC＝x，根据30°角所对的直角边是斜边的一半表示出AE的长度，然后根据勾股定理表示出CE的长度，然后根据平行四边形的性质表示出AF的长度，即可表示出三角形AFC的面积，根据等底等高的两个三角形面积相等，得到四边形ABCD的面积等于三角形AFC的面积，最后根据二次函数的性质即可求出四边形ABCD的面积的最大值．
【详解】解：（1）如图1，作BD⊥AC于点D，设BD＝x，
则S△ABC＝AC BD＝×4x＝2x，
∴S△ABC随x的增大而增大，
∵BD≤AB，
∴当BD＝AB，即∠A＝90°，x＝2时，S△ABC最大＝2×2＝4，
故答案为：4．
（2）如图2，作BE⊥AC于点E，设BE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，且AC+BD＝16，
∴AC＝BD＝8，且OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∵△AOB、△BOC、△COD及△AOD等底等高，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD＝×4x＝2x，
由（1）可知，当BE＝OB，即∠AOB＝90°，x＝4时，S△AOB最大＝2×4＝8，
∴S矩形ABCD最大＝4S△AOB最大＝4×8＝32，
∴矩形ABCD面积的最大值为32．
（3）存在，
如图3，作AF∥BD交CB的延长线于点F，作CE⊥AF于点E，设AC＝x，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝x，
∴CE＝＝x，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AC+BD＝10，
∴AF＝BD＝10﹣x，
∵△ABD与△ABF等底等高，△DBC与△ABC等底等高，
∴S△ABD＝S△ABF，S△DBC＝S△ABC，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝S△ABF+S△ABC＝S△AFC，
∵S△AFC＝AF CE＝×x（10﹣x）＝（x﹣5）2+，
∴S四边形ABCD＝（x﹣5）2+，
∵（x﹣5）2≤0，
∴（x﹣5）2+≤，
∴当x＝5时，S四边形ABCD最大＝，
∴四边形ABCD面积的最大值是．
【点睛】此题考查了三角形面积的表示方法，30°角直角三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形面积的表示方法，30°角直角三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定．
6．（1）5；（2）①见解析；②，面积的最大值为17
【分析】（1）证明，则，即可求解；
（2）①证明，进而求解；
②为梯形，点在处，则，求出，，进而求解．
【详解】解：（1）矩形沿折叠，
，
，
，
，
在中，，，则，
即；
（2）①，即，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
②∵四边形为梯形，点在处，
则，
则，
解得，
则，
即，
解得，
，
，故四边形的面积存在最大值，
当时，四边形的面积的最大值为17．
【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及平行四边形的性质、三角形全等、面积的计算等，综合性强，难度较大．
7．（1）；（2）①，②
【分析】（1）设长方形的长与宽分别为a，b．根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可；
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，证明AC＝PG，PG＝BG即可解决问题；②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K．想办法证明DM＝MD1，推出BM⊥DD1，求出OM，ON即可解决问题．
【详解】（1）设长方形的长与宽分别为a，b．
由题意：，
∴a2＝2b2，
∴；
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，
∵∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∵BE⊥AC，BE⊥PE，
∴PG∥AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AD∥BG，∠ABC＝90°，
∴四边形APGC是平行四边形，
∴PG＝AC＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠GBP，
∵∠APB＝∠GPB，
∴∠GBP＝∠GPB，
∴GP＝GB＝2，
∴AP＝CG＝BG＝BC＝2﹣2；
②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K，连接BD1．
∵BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠BC1C，
∵∠BC1D1＝∠BCD＝90°，
∴∠D1C1K+∠BC1C＝90°，∠BCC1+∠DCC1＝90°，
∴∠D1C2K＝∠DCC1，
∵CD＝C1D1，CC1＝C1K，
∴△DCC1≌△D1C1K（SAS），
∴DC1＝KD1＝JD1，∠CC1D＝∠C1KD1，
∵∠JKD1+∠C1JKD1＝180°，∠CC1D+∠DC1M＝180°，
∴∠DC1M＝∠D1KJ，
∵D1J＝D1K，
∴∠J＝∠D1KJ，
∴∠J＝∠DC1M，
∵∠D1MJ＝∠DMC1，
∴△D1MJ≌△DMC1（AAS），
∴D1M＝DM′，
∵BD＝BD1，
∴BM⊥DD1，
取BD的中点O，连接OM，ON，
∵∠BMD＝90°，
∴OM＝BD＝，
∵BO＝OD，BN＝CN，
∴ON＝CD＝1，
∵MN≤OM+ON，
∴MN≤+1，
∴MN的最大值为+1．
故答案为：+1．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为．
【分析】（1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案；
（2）过点B作，且，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案；
（3）过点A作，且，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵，，，
∴，
∵点O是对角线上的动点，
∴当三点共线时，最短，
∴最小值为13．
（2）过点B作，且，连接，，交于点G．
∴四边形是平行四边形，则．
∵是等边三角形，，
∴．
在和中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，
∴的最小值为2．
（3）过点A作，且，连接，，交于点H．
∵四边形是正方形，，
∴．
在和中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．
过点G作交的延长线于点M．
∵四边形是正方形，，
∴，，．
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
9．(1)b与a之间的函数关系式为
(2)；N点的坐标为，，，
(3)有最小值，
【分析】（1）如图1，连，利用旋转的性质和矩形的性质得到，再利用勾股定理即可得解；
（2）利用非负数的性质可得，，当点刚好落在边上，由直角三角形的边角关系可得旋转角，分别以为边和对角线得菱形讨论即可得解；
（3）如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点，先证出，然后确定，再利用三角形的三边关系即可得到的最小值，进而即可得解．
【详解】（1）解：如图1，连，
∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴b与a之间的函数关系式为，
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∵点刚好落在边上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
故答案为：；
如图2，存在，以O，，M，N为顶点的四边形是菱形的有四个，分别为菱形，菱形，菱形，菱形
∵，，,
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴由菱形的对称性质知，和关于轴对称，
∴，
∴N点的坐标为，，，；
（3）解：如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点，
∵点G为的中点，
∴，，
由旋转知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由三角形的三边关系知，，
∴三点共线时，有最小值，
如图所示，
此时，
∴F对应的纵坐标为，横坐标为，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，求函数关系式，矩形的性质，直角三角形的性质，菱形的性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
10．（1）①证明过程见详解；②见详解；（2）5；（3）或
【分析】（1）①由题意可得，，，进而可得，即可证明．②由可得，利用线段和差即可得结论；
（2）先证明是直角三角形，得，在的延长线上取，连接，，，三点共线时，最小，即可得的最小值；
（3）当N在线段的延长线上时，作于，由，证明，由，证明，，然后根据三角形面积公式求解即可；当N在线段上时，作于，由，得出，由，证明，，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）①证明：正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
②，
，
；
（2）解：线段沿着方向向左平移，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
是的中点，
，
正方形的面积为36，
，
，
，
在的延长线上取，连接，，
，
三点共线时，最小，
此时，
在中，
，
，，
；
（3）解：当N在线段的延长线上时，作于，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
；
当N在线段上时，作于，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．（1）；（2）成立，见解析（3）
【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
（1）由，，，，进一步可得，于是得到问题的答案；
（2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以（1）中结论成立；
（3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1）∵矩形，，
∴，，
∴，
∴，，，，
在矩形ABCD中，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）成立，理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，作交的延长线于点M，则，
∴，．
作交的延长线于点N，作交的延长线于点T，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，而，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．
12．（1）BG=AE且BG⊥AE；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】（1）延长EA交BG于点M，首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，再结合全等三角形的性质即可得出结论；
（2）延长EA分别交DG、BG于N′、M′两点，首先证明△BDG≌△ADE，再结合全等三角形的性质即可得出结论；
（3）要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，此时再结合勾股定理求出AF即可．
【详解】解：（1）如图①，延长EA交BG于点M，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
又∵∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴AE⊥BG，
即BG=AE且BG⊥AE；
（2）成立，
如图②，延长EA分别交DG、BG于点N′、M′两点，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∴∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DN′E=90°，∠DN′E=∠M′N′G，
∴∠M′N′G+∠DGB=90°，∴∠GM′N′=90°，
即BG=AE且BG⊥AE；
（3）∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点在以点D为圆心，DE为半径的圆上，
∴当正方形DEFG旋转到E点位于AD的延长线上，即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，AE最大，如图③，
∵BC=DE=EF=4，
∴AD=BC=2，∴AE=AD+DE=6，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=62+42=52，
∴AF=2，
即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=2．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，综合利用相关性质进行推理是解题关键．
13．(1)①；②
(2)18，
【分析】（1）①根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出，，求出，则，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可；
②延长，交于点G，先证明，求出，，再证明，即可解答；
（2）当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：①如图， 过作于H，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
由折叠得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如图，延长，交于点G，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠得：，，，，
如图，
∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，
由（1）同理可求，
∴，
∴，
∴的面积为，
即面积的最大值为18．
如图，
∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为．
故答案为：18，．
【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
14．（1）；（2）；（3）2000．
【分析】（1）作的外接圆O，求得⊙O的半径为2，当BC边上的高取得最大值时，面积有最大值，根据三角形面积公式即可求解；
（2）过A作AE⊥BC于E，利用等腰直角三角形以及含30度角的直角三角形的性质分别求得AE，BE的长，再根据三角形面积公式即可求解；
（3）利用全等三角形的判定和性质得到点P在以DA为直径的圆O上，当P与H重合时，有最大值，利用勾股定理以及三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）如图，作的外接圆O，连接OB、OC，
则OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
取优弧上的一点D，
∵∠BAC=120，
∴∠D=60，
∴∠BOC=120，
∴∠OBC=∠OCB=30，
过O作OE⊥BC于E，交⊙O于F，
由垂径定理知：BE= EC=BC=3，
在Rt△COE中，∠OCE=30，
∴OE=EC，OC=2，
∴⊙O的半径为2，
面积要取得最大值，就要BC边上的高取得最大值，即当A与F重合时，面积有最大值，
EF=OF-OE=2，
此时，；
故答案为：；
（2）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵∠C=，∠AEC=，
∴∠EAC=，
∵∠BAC=，
∴∠BAE=，
∴∠B=，
∵AB =4，
∴AE=EC=2，BE=，
∵为边的中点，
∴；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=，∠ABC=∠BAD=，AD=BC=AB，
在△AFD和△BEC中，
，
∴△AFD△BEC(SAS)，
∴∠ECB=∠FDA，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG△CBG (SAS)，
∴∠ECB=∠BAG，
∴∠FDA =∠BAG，
∵∠BAG+∠DAP=，
∴∠FDA +∠DAP=，则∠APD=，
∴点P在以DA为直径的圆O上，如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AHD=，AH=DH，
∴点H在⊙O上，
当P与H重合时，有最大值，
如图，连接OP，
∵AP=PD，AO=OD，
∴PO⊥AD，
设AO=x，则AD=2x，PO=x，
∵DQ=3AQ，
∴AQ=，OQ，
在Rt△OPQ中，，
∴PQ=，
∵PQ50，
∴50，
∴，
∴AO的最大值为，
∴面积的最大值为：
ADPO=2AOPO==2000()，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆内接四边形，勾股定理等知识，本题难度较大，综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
15．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案；
（2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论；
（3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，
∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为线段中点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
过作于，而，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
即．
（3）解：如图，由（2）同理可得：，，
∵点M关于点E的对称点N，
∴，
∴，
延长至，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即的长，
此时三点重合，如图，记的交点为，
∵此时，，
∴，
过作于，过作于，
∵，
结合（2）可得：
，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．

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