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2025年中考数学考前高频考点冲关练习：
全等三角形的判定与性质
1．如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？
2．如图，已知，，，，．
(1)求的度数与的长；
(2)求证：．
3．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
4．如图，，，点在边上，，交于点．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
5．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四边形的面积．
6．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使．
(1)求证：；
(2)求证：．
7．如图1和2，在四边形中，，，平分．
(1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________；
(2)问题解决：如图2，求证：；
(3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：．
8．在中，平分交于点D，点E在射线上运动，点 F在射线上运动，连接，且．
(1)如图①，当时，线段和之间有何数量关系，并说明理由；
(2)如图②，当时，当点E在延长线上，点F在上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由：
9．如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F．
(1)求证：，；
(2)如图2，连接，，已知．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ．
10．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
11．在中，，，是内的一条射线且与交于点，如图1，分别过点和点作，垂足分别为．
(1)证明：；
(2)已知：
①连接，若，如图2，求的长；
②若，求的长．
12．如图，在中，，点D在上（），过点D作，交的延长线于点E，连接，以为底作等腰（点E，F在直线的异侧），连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段与的数量关系，并证明，
13．是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接．
(1)如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，
①求的值；
②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长．
14．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
(1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）；
(2)若，求证：；
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．
15．如图，在和中，，，．将绕着点旋转．
(1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数；
(2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：；
(3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：．
《2025年中考数学考前高频考点冲关练习：全等三角形的判定与性质》参考答案
1．相等，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形对应角相等可得，再根据等式的性质两边同时减去可得结论．
【详解】解：，理由如下，
∵，
∴，
∴，
即．
2．(1)，6
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中．
（1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
3．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论；
（2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
4．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）由得，进而由可证；
（）由得，，得，即得，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
5．(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明；
（2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
四边形的面积．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明；
（2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明．
【详解】（1）证明：是的角平分线上一点，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
又，即，
，
在和中，
，
，
．
7．(1)角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：如图，作于E，于F．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图，在上截取，连接．
∵在等腰中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．(1)，理由见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】本题主要查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而证得，即可解答；
（2）过点D作，垂足分别为M，N，根据角平分线的性质可得，从而得到是等边三角形，进而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点D作，垂足分别为M，N，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．(1)见解析
(2)①，见解析；②互相垂直
【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证；
（2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行；
②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明．
【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：
如图2，作于G，于H，
由（1）知，
∴，，
∴，
又∵，，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②连接．
∵，且，
∴，
∵，
∴，
由（1），
∵F是线段中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
10．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，解题关键在于掌握性质．
（1）连接，根据直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定即可证明结论；
（2）根据题意可得，，利用勾股定理即可求得的值，利用三角形面积公式即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接，
是边上的中线，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，，
在直角中，
，
．
11．(1)见解析
(2)①2；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由证即可；
（2）①由得，证明，在中由勾股定理得，从而可得结论；
②由勾股定理得，，根据可求出的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
又，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去）
∴；
②过点A作于点P，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)．理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，
（1）根据题意补全图形即可；
（2）证明即可得到结论；
（3）延长到点G，使，连接．证明．得到．证明．得到，根据直角三角形的性质即可得到结论，
【详解】（1）解：补全图形如图．
（2）证明：在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）．证明如下：
如图，延长到点G，使，连接．
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴
在中，，F为的中点，
∴．
∴．
13．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查三角形全等与相似的判定及性质、直角三角形的性质，解题关键是通过分析角的关系证明三角形全等或相似，利用相关性质建立边的联系，结合直角三角形性质求解．
（1）利用等腰直角三角形的性质，得到，，由推出．再根据同角的余角相等，即，得出．最后证明，从而得出结论．
（2）①根据直角三角形两锐角互余，由，推出；再结合，得到．由此证明，根据相似三角形对应边成比例，结合中，得出答案．②先由直角三角形斜边中线性质得出，根据是直角三角形确定；利用第一小问相似结论得到，结合已知求出；再由勾股定理求出，进而得到；最后在中设，根据勾股定理列方程，求解即可．
【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，
，
，
，
，
在中
，
；
②点M是的中点，，
，，
又为直角三角形
只能
由①可知
，
，
，
，
设，则，
在中
，
，
的长为．
14．(1)25；115，小
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小；
（2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得；
（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：，
，
点D从B向C运动时，逐渐变小，
故答案为：；；小；
（2）解：，
，
又，
∴，
，
又，，
；
（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形；
理由：时，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
时，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，证明三角形全等．
（1）根据，，，得出，证明，得出，证出，根据求解即可．
（2）过点作交的延长线于点，证明，得出，结合，得出，证明，即可得．
（3）如图延长使，连接，证明，得出，结合，得出，根据，，得出，证明，得出，即可得，根据，得出，即可得，即．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
在和中：
，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
，
∴，
∴．
（3）证明：如图延长使，连接，
∵点是中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．

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